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四川省泸县第二中学2020届高三数学下学期第一次在线月考试题文


四川省泸县第二中学 2020 届高三数学下学期第一次在线月考试题


注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 A ? {x | x2 ? 4x ? 0} , B ? {x | ?1 ? x ? 1},则 AUB ?

A.[?1,1]

B.[?1, 4)

C. (0,1]

D. (0, 4)

2.已知复数 z ? (2 ? ai)i 是纯虚数,其中 a 是实数,则 z 等于 1?i

A. 2i

B. ?2i

C. i

D. ?i

3.某校高三年级共有学生 900 人,编号为 1,2,3,…,900,现用系统抽样的方法抽取一

个容量为 45 的样本,则抽取的 45 人中,编号落在区间[481, 720] 的人数为

A.10

B.11

C.12

D.13

4.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 的焦距为 4

2 ,且两条渐近线互相垂直,则该双曲线

的实轴长为

A.2

B.4

C.6

D.8

5.下列表格所示的五个散点,原本数据完整,且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回

归直线方程为 $y ? 0.8x ?155 ,后因某未知原因使第 5 组数据的 y 值模糊不清,此位置数据

记为 m (如下表所示),则利用回归方程可求得实数 m 的值为

x

196

197

200

203

204

y

1

3

6

7

m

A.8.3

B.8.2

C.8.1

D.8

6.函数

f

?x?

?

Asin ??x

???(A

?

0,?

? 0)

的部分图象如图所示,则

f

? 11? ?? 24

? ??

的值为

A. ? 6 2

B. ? 3 2

C. ? 2 2

D. ?1

7.已知 p ? log3 6 , q ? log5 10 , r ? log7 14 ,则 p , q , r 的大小关系为

A. q ? p ? r

B. p ? r ? q

C. p ? q ? r

D. r ? q ? p

8.已知奇函数 f (x) 满足 f (x) ? f (x ? 4) ,当 x ? (0,1) 时, f (x) ? 2x ,则 f ?log2 12? ?

A. ? 4 3

B. 23 32

C. 3 4

D. ? 3 8

9.已知 F 是抛物线 C : y2 ? 2 px(q ? 0) 的焦点,过点 R(2,1) 的直线 l 与抛物线 C 交于 A ,

B 两点, R 为线段 AB 的中点,若 FA ? FB ? 5 ,则直线 l 的斜率为

A.3

B.1

C.2

D. 1

2

10.若函数

f

?x?

?

cos ????x

?

? 3

? ??

??

?

0? 的最小正周期为

? 2

,则

f

?

x?



???0,

? 4

? ??

上的值域



? A. ??
?

3 2

,

1 2

?
? ?

B.

????

1 2

,1???

? C. ??
?

3 2

? ,1?
?

D.

? ??

1 2

,1???

11.已知球 O 的半径为 R , A, B,C 三点在球 O 的球面上,球心 O 到平面 ABC 的距离为

1 R , AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 120? , 则球 O 的表面积为 2

A. 16 ? 9

B. 16 ? 3

C. 64 ? 9

D. 64 ? 3

12.已知函数 f (x) ? x2 ? ax, g(x) ? b ? a ln( x ?1) ,存在实数 a(a ? 1) ,使 y ? f (x) 的图

象与 y ? g(x) 的图象无公共点,则实数 b 的取值范围为

A. ?? ?,0?

B.(? ?, 3 ? ln 2) 4

C.

? ??

3 4

?

ln

2,??

?? ?

D.

???1,

3 4

?

ln

2

?? ?

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。

13.已知向量

uuur AB



uuur AC

的夹角为120?



uuur AB

?5,

uuur AC

?

uuur 2 , AP ?

uuur uuur AB ? ? AC .若

uuur uuur
AP ? BC ,则 ? ? __________.

14.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn .若 S6

?

?7S3

,则

a4 a3

? a3 ? a2

? __________.

15.将函数 f (x) ? 3 cos x ? sin x 的图象向右平移? 个单位长度后得到的图象关于直线

x ? ? 对称,则? 的最小正值为__________.
6

16.椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) 的右焦点与抛物线 E :

y2

?

4x

的焦点 F

重合,点 P 是

椭圆 C 和抛物线 E 的一个公共点,点 Q(0,1) 满足 QF ? QP ,则 C 的离心率为__________.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。

17.(12 分)锐角 ?ABC 中,角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,?ABC 的面积为 3a2 tan C , 6sin A
(I)求 sin BcosC 的值; (II)若 6 cos B sin C ? 3 , a ? 3,求 b ? c 的最大值.

18.(12 分)在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知侧棱与底面垂直,?CAB ? 90? ,且 AC ? 1,

AB

?

2,

E为

BB1 的中点, M



AC

上一点,

AM

?

2 3

AC



?I? 若三棱锥 A1 ? C1ME 的体积为 2 ,求 AA1 的长;
6

?Ⅱ? 证明: CB1 P平面 A1EM .

19.(12 分)随着科技的发展,网购已经逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可 以买到自己想要的东西,在网上付款即可,两三天就会送到自己的家门口,如果近的话当天 买当天就能送到,或者第二天就能送到,所以网购是非常方便的购物方式.某公司组织统计

了近五年来该公司网购的人数 yi (单位:人)与时间 ti (单位:年)的数据,列表如下:

ti 1

2

3

4

5

yi 24

27

41

64

79

(I)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请计算相关系数 r 并

加以说明(计算结果精确到 0.01).(若| r |? 0.75 ,则线性相关程度很高,可用线性回归

模型拟合)

附:相关系数公式 r ?

n

??ti ? t ?? yi ? y ?

i ?1

?

n

n

??ti ? t ?2 ?? yi ? y ?2

i ?1

i ?1

n

?ti yi ? nty

i ?1

,参考数

n

n

??ti ? t ?2 ?? yi ? y ?2

i ?1

i ?1

据 5695 ? 75.47
(II)建立 y 关于 t 的回归方程,并预测第六年该公司的网购人数(计算结果精确到整数).

n

n

? ?ti ? t ?? yi ? y ? ? ti yi ? nty

(参考公式: b? ? i?1 n

? i?1 n

, a? ? y ? b?t

? ?ti ? t ?2

? ti2 ? nt 2

i ?1

i ?1

20.(12 分)已知函数 f (x) ? sin x ? ax .

(I)对于 x ? (0,1), f (x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

(II)当 a ?1时,令 h(x) ? f (x) ? sin x ? ln x ?1,求 h(x) 的最大值;

21.(12 分)设直线 l 与抛物线 x2 ? 2 y 交于 A , B 两点,与椭圆 x2 ? y2 ? 1 交于 C , D 43
两点,直线 OA , OB , OC , OD ( O 为坐标原点)的斜率分别为 k1 , k2 , k3 , k4 ,若 OA ? OB . (I)是否存在实数 t ,满足 k1 ? k2 ? t(k3 ? k4 ) ,并说明理由; (II)求 ?OCD 面积的最大值.

(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.[选修 4-4:坐标系与参数方程](10 分)
在极坐标系中,已知曲线 C1 : ? ? 2cos? 和曲线 C2 : ? cos? ? 3 ,以极点 O 为坐标原点, 极轴为 x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.
(I)求曲线 C1 和曲线 C2 的直角坐标方程; (II)若点 P 是曲线 C1 上一动点,过点 P 作线段 OP 的垂线交曲线 C2 于点 Q ,求线段 PQ
长度的最小值.

23.选修 4-5:不等式选讲(10 分)
已知函数 f (x) ?| 2x ?1| ? | x ?1| .

(I)解不等式 f (x) ? 3 ;

(II)记函数 f (x) 的最小值为 m ,若 a,b, c 均为正实数,且 1 a ? b ? 3 c ? m ,求

2

2

a2 ? b2 ? c2 的最小值.

2020 年春四川省泸县第二中学高三第一学月考试

文科数学参考答案

1.B 2.A 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C 8.A 9.B

11.D
13. 10 3

12.B 14.-2.

15. ? 3

16. 2 -1 .

17.依题意,得 1 absinC ? 3a2tanC ,即 3bsinAcosC ? 3a

2

6sinA

10.B

由正弦定理得: 3sinBsinAcosC ? 3sinA

∵ A??0,? ? ,∴ sinA ? 0

∴ sinBcosC ? 3 3
(2)∵ sinA ? sin?B ? C? ? sinBcosC ? cosBsinC ,

∴ sinA ? 3 ? 3 ? 3 36 2

∵ A 为锐角,∴ cosA ? 1 , 2
由余弦定理得 9 ? b2 ? c2 ? 2bc ? 1 ,即 9 ? 3bc ? ?b ? c?2 ,
2



?b

?

c?2

?

9

?

3? ???

b

? 2

c

?2 ??

,整理得:1 4

?b

?

c?2

?

9

,即 b ? c

?

6 ,当且仅当 b

?

c

?

3时

取等号

故 b ? c 的最大值为 6.

18.(1)设 AA1 ? h ,

V ∵ A1?C1AE

? V , S E? A1C1M ?A1C1M

?

1 2

A1C1 ? h ?

h 2



三棱锥 E ? A1C1M 的高为 2 ,

V ∴ E ? A1C1M

? 1?h?2? 32

2, 6

解得 h ?

2 2

,即

AA1

?

2. 2

(2)如图,连接 AB1 交 A1E 于 F ,连接 MF .

∵ E 为 BB1

的中点,∴

AF

?

2 3

AB1





AM

?

2 3

AC ,∴ MF

/

/CB1 ,

而 MF ? 平面 A1EM , CB1 ? 平面 A1EM ,

∴ CB1 / / 平面 A1EM .

5

n

? ? 19.(1)由题知 t ? 3 , y ? 47 , ti yi ? 852 , ?ti ? t ?2 ? 10 ,

i ?1

i ?1

n
?? yi ? y ?2 ? 2278 ,
i ?1

则r ?

? ?t n i?1 i

?

t

??

yi

?

y

?

? ? ? ? n i ?1

ti ? t

2

? ? n
i ?1

yi ? y

2

? tn i?1 i

yi

?

nty

? ? ? ? n i ?1

ti ? t

2

? ? n
i ?1

yi ? y

2

? 147 ? 147 ? 147 ? 0.97 ? 0.75 . 22780 2 5695 150.94

故 y 与 t 的线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合.

?? (2)由(1)得 b? ?

tn
i?1 i

yi

?

nty

tn 2
i?1 i

?

nt

2

? 14.7 ,

a? ? 47 ?14.7?3 ? 2.9. 所以 y 与 t 的回归方程为 y ?14.7t ? 2.9 .

将 t ? 6 带入回归方程,得 y ? 91.1 ? 91,

所以预测第 6 年该公司的网购人数约为 91 人.

20.(1)由 f ? x? ? 0 ,得: sin x ? ax ? 0 ,

因为 0 ? x ?1,所以 a ? sin x , x



g(x)

?

sin x

x



g

'?x?

?

x cos

x ? sin x2

x



再令 m? x? ? x cos x ?sin x , m'?x? ? cos x ? xsin x ? cos x ? ?xsin x ? 0 ,

所以 m(x) 在 ?0,1? 上单调递减,所以 m(x) ? m?0? ,

所以 g '? x? ? 0 ,则 g(x) 在 ?0,1? 上单调递减,所以 g(x) ? g(1) ? sin1,所以 a ? sin1.

(2)当 a ?1时, f ? x? ? sin x ? x ,∴ h(x) ? ln x ? x ?1, h '? x? ? 1 ?1 ? 1? x ,

x

x

由 h'? x? ? 0 ,得: x ?1,

当 x ??0,1?时, h'? x? ? 0 , h?x? 在 ?0,1? 上单调递增;

当 x ??1, ??? 时, h'? x? ? 0 , h? x? 在 ?1,??? 上单调递减;∴ h? x? ? h(1) ? 0 . max
21.设直线 l 方程为 y ? kx ? b , A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? , C ? x3, y3 ? , D? x4, y4 ? ,
联立 y ? kx ? b 和 x2 ? 2 y ,得 x2 ? 2kx ? 2b ? 0 ,

则 x1 ? x2 ? 2k , x1x2 ? ?2b , ?1 ? 4k 2 ? 8b ? 0 .由 OA ? OB ,所以 x1x2 ? y1 y2 ? 0 ,得

b?2.

? ? 联立 y ? kx ? 2 和 3x2 ? 4 y2 ? 12 ,得 3 ? 4k2 x2 ?16kx ? 4 ? 0 ,

所以

x3

?

x4

?

?

16k 3 ? 4k 2



x3 x4

?

4 3 ? 4k 2

,由 ?2

? 192k 2

?

48

?

0

,得 k 2

?

1 4

.

(1)因为 k1 ? k2

?

y1 x1

?

y2 x2

? k , k3 ? k4

?

y3 x3

?

y4 x4

? ?6k ,所以 k1 ? k2 k3 ? k4

??1 6

.

(2)根据弦长公式 CD ?

1? k 2 x3 ? x4 ,得: CD ? 4

3?

1? k 2 ? 4k 2 ?1 . 3 ? 4k 2

根据点 O 到直线 CD 的距离公式,得 d ?

2

1? k2

所以 S?OCD

?

1 2

CD

?d

?

4

3?

4k 2 ?1 ,设 3 ? 4k 2

4k 2

?1

?t

?

0 ,则

S?OCD

?

4 t2

3t ?4

?

3,

所以当 t ? 2 ,即 k ? ? 5 时, S?OCD 有最大值 3 . 5
22.(1) C1 的极坐标方程即 ? 2 ? 2? cos? ,则其直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 2x ,
整理可得直角坐标方程为 ? x ?1?2 ? y2 ? 1,

C2 的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为 x ? 3 . (2)设曲线 C1 与 x 轴异于原点的交点为 A ,

∵ PQ ? OP ,∴ PQ 过点 A?2,0? ,

设直线

PQ

的参数方程为

?x ?

?

? y

2 ? tcos? ? tsin?

(t

为参数),

代入 C1 可得 t2 ? 2tcos? ? 0 ,解得 t1 ? 0 或 t2 ? ?2cos? ,

可知 AP ? t2 ? 2cos? ,

代入 C2

可得 2 ? tcos?

? 3 ,解得 t

'

?

1 cos?



可知 AQ ? t ' ? 1 ,所以 PQ ? AP ? AQ ? 2cos? ? 1 ? 2 2 ,

cos?

cos?

当且仅当 2cos?

?1 cos?

时取等号,所以线段 PQ 长度的最小值为 2

2.

?

? ?3x, x ? ?1

23.(1)

f

?

x?

?

???2 ?

?

x,

?1

?

x

?

1 2

? ??

3x, x ? 1 2

所以

f

?x?

? 3等价于

? x? ???3x

?1 ?3



???1 ? ? ?? 2 ?

x? 1 2
x?3



? ? ?

x

?

1 2

??3x ? 3

,解得

x

?

?1或

x

?1,

所以不等式的解集为{x | x ? ?1或 x ? 1}

(2)由(1)可知,当 x ? 1 时, f ? x? 取得最小值 3 ,所以 m ? 3 ,即 1 a ? b ? 3 c ? 3

2

2

22

22

故 a ? 2b ? 3c ? 3 ,

? ?? ? 由柯西不等式 a2 ? b2 ? c2 12 ? 22 ? 32 ? ?a ? 2b ? 3c?2 ? 9 ,整理得 a2 ? b2 ? c2 ? 9 , 14

当且仅当 a ? b ? c ,即 a ? 3 , b ? 6 , c ? 9 时等号成立

123

14

14

14

所以 a2 ? b2 ? c2 的最小值为 9 . 14



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