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教师培训课件:浅谈高中数学新课程教材的创造性使用_图文


浅谈高中数学新课程的 创造性使用
在数学教师的能力结构中,第一要素是“教材的 理解”。教材的创造性使用,就是在了解学生、理解 教材的基础上,运用现代数学教育观念,对数学教材 进行个性化的、教学法上的再创造,使之更容易为学 生理解和接受,在知识与技能、过程与方法、情感态 度和价值观等方面获得更好的发展。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 五、课题引入与小结的艺术

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件

一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件
理解数学,这是一个优秀数学教师的必要条件。 其主要内涵是:了解数学知识的背景,准确把握数学 概念、定理、法则、公式等逻辑意义,深刻领悟内容 所反映的思想方法,具有挖掘内容所蕴含的科学方法、 理性思维过程和价值资源的能力。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件 2.核心概念是支撑数学知识结构的“梁”

一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件
2.核心概念是支撑数学知识结构的“梁”
数学内容纷繁复杂。在纷繁复杂的知识框架下有着 一根或几根支撑数学知识结构的“梁”,这就是数学 的核心概念。一个“理解数学”的教师,是能够区分 核概念和非核心概念的。在核心概念上下足工夫,这 是创造性使用教材的艺术,教学方能是高效的。否则 “只见树木,不见森木”,学生往往在木海中迷失方 向。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件 2.核心概念是支撑数学知识结构的“梁” 3.三角函数核心概念的理解和教学设计

一、对数学核心概念的理解

1.优秀数学教师的一个必要条件

2.核心概念是支撑数学知识结构的“梁”

3.三角函数核心概念的理解和教学设计

三角函数“以公式多,难记;变换灵活,难想!”

为基本特征。但从本质上认识,其核心概念不外乎两

个。

y ? Asin ?? x ???

其一是诱导公式;其二是

的图象和

性质。理解了这两个概念,其它一切都十分好办了。

一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件 2.核心概念是支撑数学知识结构的“梁” 3.三角函数核心概念的理解和教学设计
其一是诱导公式;
其二是 y ? Asin ?? x ?? ?的图象和性质。理解了这
两个概念,其它一切都十分好办了。

3.三角函数核心概念的理解和教学设计
关于诱导公式,人们一般从“三角恒 等变换”的角度理解三角函数的诱导公式, 把它当作“将任意角三角函数转化成锐角 三角函数”的工具。
“对于 00 到 3600范围内的非锐角三角函
数,能否转化为锐角三角函数呢?如果有, 转化公式是什么?”(现行教材语)

3.三角函数核心概念的理解和教学设计
在诱导公式的教学中,因诱导公式太多,学生记不 住,教师往往进一步概括为“奇变偶不变,符号看象 限”。实践表明,教学效果不尽人意。
其原因首先在于对诱导公式本质的理解有偏差。
“其实,x ? sin t 和x ? cos t 单位圆自然动态的描述。
因此,正弦函数和余弦函数的基本性质是圆的几何性 质的解析表述。

3.三角函数核心概念的理解和教学设计
在诱导公式的教学中,因诱导公式太多,学 生记不住,教师往往进一步概括为“奇变偶不变, 符号看象限”。实践表明,教学效果不尽人意。
诱导公式本质上是圆的旋转对称性和轴对称性 的解析表述。也即它是三角函数的一条性质—— 对称性,其几何背景就是圆的旋转对称性。

3.三角函数核心概念的理解和教学设计
因此,诱导公式的教学设计可围绕着下面两个问题 的解决展开:
问题1. 已知 ?与 ?为任意角。如果?的终边与 ? 关于
原点对称,那么它们有什么关系?它们的三角函数又有 什么关系?
? ? 2k? ? ? ??, k ? Z
sin ? ? sin(2k? ? ? ??) ? sin(? ??) ? ?sin?.

3.三角函数核心概念的理解和教学设计
因此,诱导公式的教学设计可围绕着下面两个问题 的解决展开:
问题2. 如果 ?的终边与? 的终边关于x轴对称,那么
它们有什么关系?它们的三角函数又有什么关系?关于 y轴、或关于直线 y ? x 、或关于直线 y ? ?x 对称呢?

一、对数学核心概念的理解
1.优秀数学教师的一个必要条件 2.核心概念是支撑数学知识结构的“梁” 3.三角函数核心概念的理解和教学设计
其一是诱导公式;
其二是 y ? Asin ?? x ?? ?的图象和性质。理解了这
两个概念,其它一切都十分好办了。

一、对数学核心概念的理解
3.三角函数核心概念的理解和教学设计
其二是 y ? Asin ?? x ?? ? 的图象和性质。理解了这
两个概念,其它一切都十分好办了。
这是中学数学中,学生学习到的唯一一个描述现实 世界中呈周期性变化规律的一个数学模型,——单摆 运动、弹簧的振动、交流电的变化规律、潮汐现象等 都可由这个模型刻划。这个模型的重要性不言而喻, 其图象和性质的重要性也就可以理解了。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 五、课题引入与小结的艺术

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 美国心理学家奥苏伯尔(Ausuble)认为“迁移 是指一种学习对另一种学习的影响”。迁移能力 就是将所学知识应用到新的情境,解决新问题时 所体现的素质和能力。包括对新情景的感知和处 理能力、旧知识与新情景的链接能力、对新问题 的认知和解决能力三个层次。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件
(1)这生在学习新知识时,关脑中是否已经有了和新 知识有关的概念、原理及其规律。原有的相关知识越多, 概括程度越高,迁移能力就越强。
(2)新学习的知识与相关知识的可分辨度,两者之 间的分辨度越高,越有助于迁移。
(3)新知识的学习还与原知识的巩固度有关,原有 知识的巩固度越高,越有利于知识的迁移。

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件
? ? 例1.若数列 an 是等比数列,且 an ? 0 则有数列
? ? bn ? n a1 ? a2 ????? an n ? N ? 也是等比数列。类比上述
? ? 性质,相应地:若数列 cn 是等差数列,则有dn ?
——————————也是等差数列。

例1.若数列?an? 是等比数列,且 an ? 0 则有数
? ? 列 bn ? n a1 ? a2 ????? an n ? N ? 也是等比数列。类比上
? ? 述性质,相应地:若数列 cn 是等差数列,则有dn ?
——————————也是等差数列。

此题给出的是等比数列的一个性质,考察的是等 差数列与之对应的一个性质。所以要根据等差数列与 等式数列的互变规律,才能得出等差数列对应的性质。

? ? 通过迁移可知,dn

?

c1

?

c2

????? n

cn

n ? N ? 也是等差数列。

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件
(1)这生在学习新知识时,关脑中是否已经有了和新 知识有关的概念、原理及其规律。原有的相关知识越多, 概括程度越高,迁移能力就越强。
(2)新学习的知识与相关知识的可分辨度,两者之 间的分辨度越高,越有助于迁移。
(3)新知识的学习还与原知识的巩固度有关,原有 知识的巩固度越高,越有利于知识的迁移。

二、知识的迁移与结构拓展

1.迁移的意义 2.完成迁移的条件

例2.通过对下表的阅读分析,请思考一下如何由随 机事件的濒率来确定其概率。

抛掷次数(n)

2048

正面向上的次数(m) 1061 正面向上的濒率(m/n) 0.5181

4040 12000

2048 0.5069

6019 0.5005

30000 14984 0.4996

例2.通过对下表的阅读分析,请思考一下如何由随 机事件的濒率来确定其概率。

抛掷次数(n)

2048

正面向上的次数(m) 1061 正面向上的濒率(m/n) 0.5181

4040 12000

2048 0.5069

6019 0.5005

30000 14984 0.4996

错解:设事件A:抛掷硬币试验正面向上,则

lim m

P(A) ?

? 0.5

n n???

例2.通过对下表的阅读分析,请思考一下如何由随 机事件的濒率来确定其概率。

抛掷次数(n)

2048

正面向上的次数(m) 1061 正面向上的濒率(m/n) 0.5181

4040 12000

2048 0.5069

6019 0.5005

30000 14984 0.4996

分析:概率的统计学描述基于在不变条件下的大 量重复试验中,试验结果的某种“稳定性”。这种 “稳定性”与学生头脑中已有的极限定义容易混淆, 因此学生由类比迁移得到了上述错误解答,事实上是 经不起极限定义检验的。

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件
(1)这生在学习新知识时,关脑中是否已经有了和新 知识有关的概念、原理及其规律。原有的相关知识越多, 概括程度越高,迁移能力就越强。
(2)新学习的知识与相关知识的可分辨度,两者之 间的分辨度越高,越有助于迁移。
(3)新知识的学习还与原知识的巩固度有关,原有 知识的巩固度越高,越有利于知识的迁移。

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件 3.从迁移到结构拓展
结构拓展是迁移的迁移效能的进一步提升,是由此及 彼的“最近发展区”层面上的更高级创新。

二、知识的迁移与结构拓展
3.从迁移到结构拓展
结构拓展是迁移的迁移效能的进一步提升,是由此及 彼的“最近发展区”层面上的更高级创新。
例.如图,海中有一个小岛A距海岸 a km,海边有一
小镇C,| BC |? b km,今欲在海岸上建 一个渡口,以便于小镇上的人坐船 到岛上观光。已知人在岸上行走的 速度是小船行速的两倍,渡口建在 何处可使来往于A,C 间的人用时最 少?

例.如图,海中有一个小岛A距海岸 a km,海边有一
小镇C,| BC |? b km,今欲在海岸上建 一个渡口,以便于小镇上的人坐船 到岛上观光。已知人在岸上行走的 速度是小船行速的两倍,渡口建在 何处可使来往于A,C 间的人用时最 少?
例. A, B,C, D 四座城市恰好为一个正方形的四个顶点。 要建立一个公路系统,使每个城市 之间都有公路相通,并使整个公路 系统的总长为最小,问这个公路系 统应当如何修建?

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件 3.从迁移到结构拓展
结构拓展是迁移的迁移效能的进一步提升,是由此及 彼的“最近发展区”层面上的更高级创新。

二、知识的迁移与结构拓展
1.迁移的意义 2.完成迁移的条件 3.从迁移到结构拓展 4.创造性使用教材,促使知识的迁移与 结构拓展

二、知识的迁移与结构拓展
4.创造性使用教材,促使知识的迁移与结构拓展
在高中数学教学中,一方面应强调简单的知识技能与 复杂的知识技能、新旧知识技能之间的联系。教师要促 使学生把已学过的内容迁移到新的学习内容上去,从而 使比较容易学习新的、复杂的内容;另一方面,应把高 中数学独立的教学内容整合起来,同时也要注意各学科 的横向联系,教师应鼓励学生将数学这科学到的知识运 用到其它学科中去世,或者将其它学科知识运用到数学 这科中去。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 五、课题引入与小结的艺术

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用
主体性是创造性使用教材的核心和灵魂。教学中 要体现学生的主体性,使学生自觉、主动、深层次的 参与到教学过程。创设特定的情境,使学生产生明显 的意识倾向和情感共鸣,是一项重要的艺术。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生发现数学 命题
建构主义学习理论强调创设真实的情 境,将创设情境看作“意义建构”的必要 前提,并作为教学设计的最重要内容之一。

三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生发现数学命题 建构主义学习理论强调创设真实的情境,将 创设情境看作“意义建构”的必要前提,并作 为教学设计的最重要内容之一。 创设问题情境应与学生已有的数学认识水平 相适应,只有当创设的问题情境进入学生的 “最近发展区”,学生才能在已有的认识发展 水平基础上,通过引导,从中发现问题、提出 问题,从而进一步提高自已的探究意识和创新 意识。

三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生发现数学命题 例. “正弦定理”的教学设计 某测量员需要测得河岸两地A、B之间的距
离。现用经纬仪测得 ?A ? 450, ?B ? 300,又
AC ?100 米,测量员就可得到A、B间的距离,
试问他是如何求得的呢?

三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生发现数学命题 例. “正弦定理”的教学设计 某测量员需要测得河岸两地A、B之间的距
离。现用经纬仪测得 ?A ? 450, ?B ? 300,又
AC ?100 米,测量员就可得到A、B间的距离,
试问他是如何求得的呢?
学生一般都会转化为直角三角形来解,教师 进一步提出:我们能否得到三角形中的某个定 理,使得直接应用定理就能得到本题结论呢? 这就是我们今天要研究的课题:正弦定理。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生自主发现 数学命题
2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝 的勇气

三、教学情境的创设和应用
2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气
求点 P(x0, y0)到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离d是解析几 何的一个十分重要的公式。若作 PQ ? l于Q,并 设 Q(a,b),则
d ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2
当然,我们可以利用两直线方程求出Q点坐标,然 后由两点间距离公式求出d. 课本中说:“这个方法虽 然思路自然,但运算很繁。”故介绍一种新法。

三、教学情境的创设和应用
2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气
求点 P(x0, y0)到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离d是解析几 何的一个十分重要的公式。若作 PQ ? l于Q,并 设 Q(a,b),则
d ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2
但有一位老师,在教学中抓这一矛盾的分析与解决, 整体把运算技巧,让学生看到科学思维方法的威力, 对学生进行具体的科学方法论的教育。

三、教学情境的创设和应用
2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气
求点 P(x0, y0)到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离d是解析几 何的一个十分重要的公式。若作 PQ ? l于Q,并 设 Q(a,b),则
d ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2
首先,如果从整体上看问题,就可以发现求a 和 b
并不是问题的关键,问题的关键是要求出 x0 ? a与 y0 ? b。

d ? ? x0 ? a?2 ? ? y0 ? b?2

? Aa ? Bb ? C ? 0,

不妨先设 A ? 0 ,则有

? ? ??

y0 ? b ? B . x0 ? a A

根据上述求解目标,化为 ? ? ? ??

A( x0

?

a)

?

B( y0 ? b) ? Ax0 y0 ? b ? B . x0 ? a A

?

By0

?

C,

根据上述结构特点,令 x0 ? a ? At; y0 ? b ? Bt 代入上式,

求出 t ? Ax0 ? By0 ? C ,代入最上面的公式,得
A2 ? B2
d ? A2 ? B2 t ? Ax0 ? By0 ? C . A2 ? B2

三、教学情境的创设和应用
2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气
求点 P(x0, y0)到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离d是解析几 何的一个十分重要的公式。若作 PQ ? l于Q,并 设 Q(a,b),则
d ? A2 ? B2 t ? Ax0 ? By0 ? C . A2 ? B2
这样的处理方法比教材中介绍的方法反而简单得多, 其原因就是解题过程能洞察问题的整体,抓住了主要 矛盾。这种不迷信书本,敢于挑战权威的教学情境设 计,是创造性使用教材的成功范例。

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三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生自主发现数学命题 2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气 3.用相关学科题材创设情境促使学生联系性看待问题

三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生自主发现数学命题 2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气 3.用相关学科题材创设情境促使学生联系性看待问题
数学课程是学习物理、化学、生物、技术等学科的 基础,它的诸多知识都与上述学科有着紧密的联系。 如概率原理在生物遗传学中的应用、立体几何中的正 多面体与化学中的金钢石、二氧化硅、晶体硅、C60 等 物质的结构联系,三角函数与向量在物理学中的应用 等。我们在教学上述问题时,可适时创设与相关学科 联系的问题情境,从而强化数学的工具性、基础性, 激发学生学习的积极性。

三、教学情境的创设和应用
3.用相关学科题材创设情境促使学生联系性看待问题
例.有一位老师在执教充要条件时,首先提出如下问 题:如图的电路图①—④中, 研究命题P:“闭合开关A”, 命题Q:灯泡B亮”的关系, 接着引出两命题之间的四种 关系与①—④的对应。
引入上图后,学生的兴趣 被有效激活,教学效果也相 当的好。真是“他山之石, 可以攻玉”。这就是创造性使用教材。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生自主发现数学命题 2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气 3.用相关学科题材创设情境促使学生联系性看待问题 4.制造“瑕疵”情景让能力在思辨中升华

三、教学情境的创设和应用
1.创设特定的情境引导学生自主发现数学命题 2.创设挑战性情境激发学生敢于质凝的勇气 3.用相关学科题材创设情境促使学生联系性看待问题 4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华
“瑕疵”也是教学教育资源。因此教师故意设置某 种不完美甚至是错误的状态,引导学生澄清认识,彰 显智慧,这也是创造性使用教材的一种机智。

三、教学情境的创设和应用
4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华

例.有一位教师在讲授极限概念时,用多媒体打出 了这样一名话:
“当?x 无限趋近于0时,f (x0 ? ?x) ? f (x0) 无限趋近于常数
?x

A”就可表示为“当?x ? 0

时,f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A ?x



显然,这句话有一个“瑕疵”!

4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华

“当 ?x无限趋近于0时,f (x0 ? ?x) ? f (x0无) 限趋近于常数
?x

A”就可表示为“当?x ? 0

时,f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A ?x



或许老师并不是“失误”,而是为了充分了解学生对
导数概念的的掌握情况,也为了培养学生自主探究能力 和合作交流水平,而有意为之的一种教学情境!

4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华

“当 ?x无限趋近于0时,f (x0 ? ?x) ? f (x0无) 限趋近于常数
?x

A”就可表示为“当?x ? 0

时,f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A ?x



“一石击起千层浪”。问题一提出,学生中立即形成 不同的阵容,展开了热烈的讨论!

学生甲:既然?x ? 0,那么我们就可以将它近似地看
作0,因此 f (x0 ? ?x)与 f (x0 ? ?x) 也就没本质的区别,所以 这里的“瑕疵”对结论的正确性没有影响!

4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华

“当 ?x无限趋近于0时,f (x0 ? ?x) ? f (x0无) 限趋近于常数
?x

A”就可表示为“当?x ? 0

时,f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A ?x



学生甲:既然?x ? 0,那么我们就可以将它近似地看
作0,因此 f (x0 ? ?x)与 f (x0 ? ?x) 也就没本质的区别,所以 这里的“瑕疵”对结论的正确性没有影响!

学生乙:既然?x ? 0,但它毕竟不是0,因此上述变化 对结论的正确性会产生影响,至于到底会产生怎样的影 响就不得而知了!

4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华

“当 ?x无限趋近于0时,f (x0 ? ?x) ? f (x0无) 限趋近于常数
?x

A”就可表示为“当?x ? 0

时,f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A ?x



学生丙:这个写法是错的,结果变为原来的相反数了! 我们可取特殊函数分析,如:



f

(x)

?

x,

x0

? 1,则

f

(x0 ? ?x

?x)

?

1;而

f (x0 ? ?x) ? ?1 ?x



教师:同学们的意见都有合理的成份,尤其是丙同学
的“特殊化”的思考方法,更是令人茅塞顿开。同学们 能将丙同学的思路一般化吗?

4.制造“瑕疵”情境让能力在思辨中升华

“当 ?x无限趋近于0时,f (x0 ? ?x) ? f (x0无) 限趋近于常数
?x

A”就可表示为“当?x ? 0

时,f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? A ?x



学生丙:这个写法是错的,结果变为原来的相反数了! 我们可取特殊函数分析,如:



f

(x)

?

x,

x0

? 1,则

f

(x0 ? ?x

?x)

?

1;而

f (x0 ? ?x) ? ?1 ?x



学生丁:令?x? ? ??x ,则当 ?x ? 0 时,

f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ? f (x0 ? ?x?) ? f (x0 ) ? ? f (x0 ? ?x?) ? f (x0 ) ? ? A

?x

??x?

?x?

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 五、课题引入与小结的艺术

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计
所谓问题串,是指教学中利用信息差原理, 围绕着具体的三维目标,针对一个特定的主题, 按照一定的逻辑结构精心设计的一连串问题。这 是创造性使用教材的一种重要方式。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲

四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲
数学的高度抽象性常常使学生误认为是脱离 实际的。因此,教学中可设计与学生实际或学生 现有的生活经验联系起来的问题串。这样不但能 营造轻松活泼的教学氛围,而且有利于激发学生 的求知欲,达到事半功倍的效果!

四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲
例. 在椭圆引言的教学中,要求学生思考下列问题: (1)汽车储油罐模截面外轮廓线的形状象椭圆,将 一个圆压扁了也象椭圆,它们究竟是不是椭圆呢? (2)电影放映机聚光灯的反射镜、……都是运用椭 圆的性质制成的,怎样设计才能精确制造它们? (3)要对椭圆性质进行精细的研究就得建立椭圆方 程,怎样建立椭圆的方程呢? (4)如果椭圆的方程建立起来了,怎样利用方程研 究椭圆的性质呢?

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性

四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性
思维的深刻性表现为善于思考问题,准确把握事物 的本质及其规律性联系,不为表面的各种干扰所迷惑的 思维品质!

四、“问题串”的功能与设计
2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性
例.过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F的一条直线和该抛 物线相交于P、Q两点,且点P、Q的纵坐标分别是 y1, y2。
求证:y1y2 ? ? p2

四、“问题串”的功能与设计
2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性
例.过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F的一条直线和该抛 物线相交于P、Q两点,且点P、Q的纵坐标分别是 y1, y2。
求证:y1y2 ? ? p2
当学生解决了上述问题后,可抛出如下问题串: (1)x1x2 ? ? (2)kOPkOQ ? ? (3)过抛物线 y2 ? 2 px 的焦点F的一条直线和该抛 物线相交于P、Q两点,求弦PQ的最小值。

四、“问题串”的功能与设计
2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性
例.过抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F的一条直线和该抛 物线相交于P、Q两点,且点P、Q的纵坐标分别是 y1, y2。
求证:y1y2 ? ? p2
当学生解决了上述问题后,可抛出如下问题串: (4)S?POQ的最小值是多少? (5)过抛物线 y2 ? 2 px的焦点F的一条直线和该抛物 线相交于P、Q两点,经过点P和抛物线顶点的直线交 准线于点M,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性 3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性

四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性 3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性
思维的灵活性是善于根据事物的变化,改变思维角 度,摆脱常规、繁难或错误的思路,寻找正确途径的思 维品质。

四、“问题串”的功能与设计
3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性
思维的灵活性是善于根据事物的变化,改变思维角 度,摆脱常规、繁难或错误的思路,寻找正确途径的思 维品质。
例.在椭圆 x2 ? y2 ?1 上求一点,使它与两焦点的连线 相互垂直。 45 20

四、“问题串”的功能与设计
3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性
思维的灵活性是善于根据事物的变化,改变思维角 度,摆脱常规、繁难或错误的思路,寻找正确途径的思 维品质。
例.在椭圆 x2 ? y2 ?1 上求一点,使它与两焦点的连线 相互垂直。 45 20
顺利完成此题或许不难。但为了实现从“一题到一 类”的教学策略,还可以要求同学们探索“是否在任意 椭圆上都能找到满足该条件的点呢?”进一步可给出下 面的问题串:

四、“问题串”的功能与设计

3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性 例.在椭圆 x2 ? y2 ?1 上求一点,使它与两焦点的连线 相互垂直。 45 20

(1)在椭圆

x2 ? 45

y2 20

?1

上求一点,使它与两焦点的连

线相互垂直?若存在,求出该点;若不存在,说明理由;

(2)在椭圆

x2 ? 45

y2 b2

?1

上有一点,使它与两焦点的连

线相互垂直,求b 的取值范围;

四、“问题串”的功能与设计

3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性

例.在椭圆 x2 ? y2 ?1 上求一点,使它与两焦点的连线 相互垂直。 45 20

(1)在椭圆

x2 ? 45

y2 20

?1

上求一点,使它与两焦点的连

线相互垂直?若存在,求出该点;若不存在,说明理由;

(2)在椭圆

x2 ? 45

y2 b2

?1

上有一点,使它与两焦点的连

线相互垂直,求 b 的取值范围;

(3)其它条件不变,方程变为

x2 a2

?

y2 b2

? 1,试问

a, b

满足什么条件?

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性 3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性 4.设计题组型问题串,强化对某类问题深层次理解

四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性 3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性 4.设计题组型问题串,强化对某类问题深层次理解
有些问题或者说考试评价的热点问题,或者是智能 价值很高的问题,对这类问题往往要强化训练,以促使 对问题的深层次理解。设计题组训练是业已证实了的好 方法。

四、“问题串”的功能与设计
1.设计生活化的问题串,激发学生的求知欲 2.设计探究性的问题串,培养学生思维的深刻性 3.设计开放性问题串,培串学生思维的灵活性 4.设计题组型问题串,强化对某类问题深层次理解
有些问题或者说考试评价的热点问题,或者是智能 价值很高的问题,对这类问题往往要强化训练,以促使 对问题的深层次理解。设计题组训练是业已证实了的好 方法。
例.在单调性问题中,有一类含有参数的函数在某区 间上的“逆向单调性问题”。这类问题在高考中(尤其 是湖南高考)倍受关注。设计题组对其重点突破是有 “应试价值”的。

4.设计题组型问题串,强化对某类问题深层次理解
例.在单调性问题中,有一类含有参数的函数在某区 间上的“逆向单调性问题”。这类问题在高考中(尤其 是湖南高考)倍受关注。设计题组对其重点突破是有 “应试价值”的。
(1)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 ax2 ? (a ?1)x ?1,在 (1, 4)内是减
函数,在 (6, ??)内是增3函数2 ,求 a 的取值范围;

4.设计题组型问题串,强化对某类问题深层次理解
例.在单调性问题中,有一类含有参数的函数在某区 间上的“逆向单调性问题”。这类问题在高考中(尤其 是湖南高考)倍受关注。设计题组对其重点突破是有 “应试价值”的。
(1)已知函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 ax2 ? (a ?1)x ?1,在 (1, 4)内是减
函数,在 (6, ??)内是增3函数2 ,求 a 的取值范围;
(2)如果函数 f (x) ? 1 ?a ?1? x2 ? ax ,在(1, 3)上是增函数,
求 a 的取值范围; 2

4.设计题组型问题串,强化对某类问题深层次理解
例.在单调性问题中,有一类含有参数的函数在某区间上的 “逆向单调性问题”。这类问题在高考中(尤其是湖南高考)倍 受关注。设计题组对其重点突破是有“应试价值”的。
(3)已知函数 f (x) ? ln x, g(x) ? 1 ax2 ? bx, a ? 0,若b ? 2且 2
h(x) ? f (x) ? g(x) 存在单调减区间,求 a 的取值范围;
(4)设 t ? 0,点 P(t,0)是函数 f (x) ? x3 ? ax与g(x) ? bx2 ? c 的图象的一个公共点,两函数的图象在P处有相同的切 线。
(Ⅰ)用 t 表示 a,b,c ;
(Ⅱ)若函数 y ? f (x) ? g(x)上单调递减,求 t 的取值范
围。

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 五、课题引入与小结的艺术

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
“好的开头是成功的一半”。教学计的第一步 就是如何引入教学内容。这也是创造性使用教 材的重要技术。课题引入一般要遵循如下六个 原则:(1)科学性;(2)典型性;(3)简明 性;(4)教学性;(5)思考性;(6)时代性。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
[案例1](数学归纳法引入)已知数列1,3,5,7,???, 2n ?1,???. 试计算 S1, S2, S3, S4 ,并由此推测计算 Sn 的公式,并给出证 明。
[点评]“从最简单的情形开始”,让所有学生在熟悉 的情境中进入新知识的学习环境,最大限度地提高教 学效率。从这点上来看,这个引入是可取的。但学生 在证S明n 的公式时,往往会想到利用等差数列的求和 公式,不利于新课——数学归纳法的引入。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
且 a[n案?1 ?例1?a2na]n(?n数? N学? ?归,纳试法计引算入a2), a3已, a知4 ,数并列由?an此?的推第测1计项算a1a?n 1
的公式,并给出证明。
[点评]运用归纳推理,发现新的问题,这是数归纳法的“先 行组织者”,这符合数学归纳法的思维模式。该案例是教材上 的引例,教材的说法是“我们已经猜想出其通项公式……”,说 明的本证题明的,教学学生重在心现不有是 知“识猜基”础,上而是是较“难推找”到a。方n ?但案1n 对的猜。想因此,这 个方案是有特色的。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
且 a[n案?1 ?例1?a2na]n(?n数? N学? ?归,纳试法计引算入a2), a3已, a知4 ,数并列由?an此?的推第测1计项算a1a?n 1
的公式,并给出证明。
[点评]运用归纳推理,发现新的问题,这是数归纳法的“先 行组织者”,这符合数学归纳法的思维模式。该案例是教材上 的引例,教材的说法是“我们已经猜想出其通项公式……”,说 明的本证题明的,教学学生重在心现不有是 知“识猜基”础,上而是是较“难推找”到a。方n ?但案1n 对的猜。想因此,这 个方案是有特色的。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
[案例3](数学归纳法引入)正方形的割补问题。 (1)2个正方形是否可以剖成有限块,再拼成一个正方形?请 同学们尝试。 (2)3个正方形是否可以剖开成有限块,再拼成两个正方形? 请同学们回答能不能,并说明你的理由。 (3)如果对3个正方形能做到这一点,那么对4个、5个、……n 个正方形呢?
[点评]本方案的魅力在于不断地发现解决问题的方法,初此 奠定学生数学归纳法的基本概念。但该案例过于复杂,理解难 度大,不利于新课引入。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
[案例4](数学归纳法引入)分烧饼问题。 1刀,可以将烧饼最多分成几块?2刀、3刀、……、n刀呢?
[点评]利用用具体问题引入新课,将一个看似简单的问题与 数学归纳法联系起来,能激发学生的学兴趣。但尽管案例来自 学生实际,但要考虑的因素很多,如烧饼的厚度等。因此不利 于新课引入。和案例3同属一类。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
[案例5](数学归纳法引入)摸球问题。 从一个袋子中第1次摸出的是一个白球,接着如果有这样一个 保证:“当前面一次摸出的是白球时,则其后一次摸出的也一定 是白球”。你能判断这个袋子中的球全部是白球吗?
[点评]这是一个源自生活的事例,接近学生实际,容易被接 受。但严格说来,该案例不过是教师为教学而设计的用来套学 生思维的圈套,并不利于学生产生思维上的困惑和认知上的冲 突,也不是一个好案例。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则 2.水到渠成的数学课堂小结
课堂小结是一堂课的总结、升华,也是创造使用数 学教材的一个重要组成部分。
只有适合教学内容特点、符合学生实际、自然的课 堂小结才是最好的。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则 2.水到渠成的数学课堂小结
课堂小结要认清两个基本任务: 其一是回顾、总结、反思所学的内容与方法; 其二是拓展、深化、提出新的问题。 下面以“数学归纳法”的课堂小结为例说明。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
2.水到渠成的数学课堂小结
A老师的小结:(1)数学归纳法证题的核心步骤是 什么?(2)它的核心思想是什么?(3)数学归纳法 能解决哪些问题?(4)在学习过程中你有什么收获和 体会?
[设计意图]学生的学后总结反思是知识得以内化的 必要过程。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
2.水到渠成的数学课堂小结
B老师的小结:
用数学归纳法 证题的关键:
(1)两个步骤和一个结论; (2)一要用假设,二要凑结论。 [设计意图]回顾总结本节课的主要内容。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
2.水到渠成的数学课堂小结
[点评]A老师的课堂小结提出了四个问题,应该说是 自然的。但应注意其中的顺序问题,做到从具体到抽 象,从宏观到微观。
B老师的课堂小结用框图表示,是一个不错的想法。 但其中的内容不适合新课程的立意。新课程是在“合 情推理和演绎推理”的基础上引入数学归纳法的,而 不是在“不完全归纳法和完全归纳法”的基础上引入 数学归纳法的。

五、课题引入与小结的艺术
1.课题引入案例的选择原则
2.水到渠成的数学课堂小结
“数学归纳法”课堂小结的再设计: (1)数学归纳法能解决哪一类问题? 一般用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数 学问题; (2)数学归纳法证题的步骤是什么? 两个步骤和一个结论,缺一不可。关键是第二步,即归纳假 设要用到,解题目标要明确,“凑假设”和“凑结论”这“双 凑”是解题的关键所在。 (3)数学归纳法证题的核心思想是什么?

浅谈高中数学新课程的 创造性使用
一、对数学核心概念的理解 二、知识的迁移与结构拓展 三、教学情境的创设和应用 四、“问题串”的功能与设计 五、课题引入与小结的艺术



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