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2019新版高中数学北师大版必修4同步练习:第三章三角恒等变形 检测 Word版含解析


第三章检测

(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的)

1.函数 y=3sin x-

的最大值是

A.3+ 解析:∵函数 y=3sinx-

x=6si -

∴所求的最大值是 6. 答案:C

2.函数 y=2si -

∈R)的最小值等于( )

A.-3

B.-2

C.-1

D.

解析:y=2si -

答案:C

3.计算

等于

故最小值为-1.

A.

解析:

30°

答案:B

4.函数 g(x)的图像是函数 f(x)=sin

2x

的图像向右平移 个单位长度得到的 则函数

A.直线 x

直线

C.直线 x

直线

的图像的对称轴为

解析:f(x)=sin2x

2x=2si - 其图像向右平移 个单位长度得到g(x)=2si

--

-

2x.由 cos2x=±1,得 2x=kπ(k∈Z),即 x

∈Z),所以函数 g(x)的图像的对称轴

为直线 x

∈Z).只有选项 C 符合条件.

答案:C 5.在△ABC 中,C=90°,则函数 y=sin2A+2sin B 的最值情况是( ) A.有最大值,无最小值 B.无最大值,有最小值 C.有最大值,也有最小值 D.无最大值,也无最小值 解析:y=sin2A+2sinB=sin2A+2cosA=1-cos2A+2cosA=-(cosA-1)2+2,而 0<cosA<1,故函数无最大值也无 最小值. 答案:D 6.

如图,在平面直角坐标系中,已知两点 A(cos 80°,sin 80°),B(cos 20°,sin 20°),则 AB 的长为( ) A

C 解析:由两点间的距离公式,得

AB

-

-

答案:D 7.已知向量 a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈ A C

若a·b 则

解析:由 a·b 得cos2α+sinα(2sinα-1) 解得sinα 又α∈

所以cosα= 答案:C 8.已知 sin θ

α= 则ta 则

-
的值为

A

C. 解析:因为 sinθ

所以cosθ=



所以 si

-

co

故 ta
答案:B 9.若 cos 5°=a,则 sin 2 375°等于( )

A.

-

B

-

C.

-

D

-

解析:因为 cos5°=a,所以 sin5° - 所以sin2375°=sin215°=-sin35°=-sin(30°+5°)=-sin30°cos5°-

cos30°sin5°=

-

答案:A

10.有下列四个函数:①y=sin x+cos x;②y=sin x-cos x;③y=sin x·cos x;④

y

其中在

上为递增函数的是

A.① C.①和③

B.② D.②和④

解析:y=sinx+cosx



上不是单调函数,所以①不是,排除 A 和 C;y

x在

上是增加的,所以④是,排除 B,故选 D.

答案:D

11.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则

的值为

A

C
解析:∵3+2sinx+2cosx=3+ ∴sinx-2cosx=0.∴tanx=2. ∴原式

=2cos2x

答案:C 12.关于函数 f(x)=2(sin x-cos x)cos x 有以下四个结论:P1:最大值为
的图像向右平移 个单位长度后可得到函数
的图像 递增区间为

把函数

(k∈Z);P4:图像的对称中心为

- ∈Z).其中正确的结论有( )

A.1 个

B.2 个

C.3 个 D.4 个

解析:因为 f(x)=2sinxcosx-2cos2x=sin2x-cos2x-1

-

将 f(x)

2x-1 的图像向右平移 个单位长度后得到f(x)

所以最大值为 -

所以P1 错误; -

的图像,所以 P2 错误;由

≤2x

解得

≤x≤

∈Z),即递增区间

为-

∈Z),所以 P3 正确;由 2x

∈Z),得 x

∈Z),所以对称中心



- ∈Z),所以 P4 正确.

答案:B
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上)

13.函数 y=ta

的最小正周期是

解析:y -

答案:π

14.函数 f(x)=(sin x+cos x)2 的递增区间是

.

解析:f(x)=(sinx+cosx)2=1+sin2x.



≤2x≤

∈Z),



≤x≤

∈Z),

所以 f(x)的递增区间是 -

(k∈Z).

答案: -

∈Z)

15.已知 α∈





解析:ta



-

log5(sinα+2cosα)+log5(3sinα+cosα)

=log

=log 答案:1

16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知任意角 θ 以坐标原点 O 为顶点,x 轴的非负半轴为始边,若终边经过

点 P(x0,y0),且|OP|=r(r>0),定义:sos θ



为 正余弦函数 对于 正余弦函数

有同学得到以下性质 ①该函数的值域为[ ②该函数的图像关于原点对称;

③该函数的图像关于直线 x 对称

④该函数为周期函数,且最小正周期为 2π;

⑤该函数的递增区间为 -

∈Z.

其中正确的是

.(填上所有正确性质的序号)

解析:由“正余弦函数”的定义可知,y=sosx=sinx+cosx

由三角函数的性质可得①④⑤

正确. 答案:①④⑤
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10 分)已知 tan α=2.

(1)求 ta

的值

(2)求 解(1)ta

的值
--

(2
--

18.(12 分)若函数 f(x)

- 的最大值为 求实数 的值

解 f(x)

-

x

x

其中φ 满足 sinφ

则该函数的最大值为

由已知,得 19.(12 分)已知函数 f(x)=a(cos2x+sin xcos x)+b. (1)当 a>0 时,求 f(x)的递增区间; (2)当 a<0,且 x∈ 时 的值域是 求 的值

解 f(x)=a·

2x+b

(1)当 2kπ ≤2x ≤2kπ

kπ ≤x≤kπ

∈Z),

∈Z)时,

-

∈Z)为 f(x)的递增区间.

(2)∵0≤x≤ ≤2x

∴ ≤si

≤1

∴f(x)min
∴a=220.(12 分)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)的定义域为 R. (1)当 θ=0 时,求 f(x)的单调区间. (2)若 θ∈(0,π),且 sin x≠0 当 θ 为何值时,f(x)为偶函数?
解(1)当 θ=0 时,f(x)=sinx+cosx

当 2kπ ≤x ≤2kπ

∈Z),即 2kπ ≤x≤2kπ

∈Z)时,f(x)是增加的;

当 2kπ ≤x ≤2kπ

∈Z),即 2kπ ≤x≤2kπ

∈Z)时,f(x)是减少的.

∴f(x)的递增区间为 -

∈Z);

f(x)的递减区间为

∈Z).

(2)f(x)

-

为偶函数,则 θ

∈Z),∴θ=kπ

∈Z).

∵θ∈(0,π),∴θ

21.(12 分)已知函数 f(x)

(1)求 f(x)的最小正周期和最小值; (2)将函数 f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 g(x)的图像.当 x∈

时 求 的值域

解(1)f(x)

2x

2x

2x)

2x

2x

-

因此 f(x)的最小正周期为 π,最小值为

(2)由条件可知:g(x)=si -

当 x∈ 时,有

x

从而si - 的值域为

那么si -

的值域为 - -

故 g(x)在区间

上的值域是 - -

22.(12 分)已知函数 f(x)

·cos ωx+cos2ωx

其最小正周期为

(1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 f(x)的图像向右平 移 个单位长度 再将图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 得到函数

的图像 若关于 的方程

在区间 上有且只有一个实数解 求实数 的取值范围

解(1)f(x)

ωx·cosωx+cos2ωx

2ωx

由题意,知 f(x)的最小正周期 T 则

所以 ω=2,所以 f(x)=si

(2)将 f(x)的图像向右平移 个单位长度后,得到 y=si - 的图像,再将所得图像所有点的横

坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到 y=si - 的图像,所以 g(x)=si -

因为 0≤x≤ 所以 ≤2x

g(x)+k=0 在区间 上有且只有一个实数解,即函数 y=g(x)与 y=-k 的图像在区

间 上有且只有一个交点,由正弦函数的图像可知 ≤-k 或-k=1,所以

或k=-1.



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