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2020版高中数学第一章解三角形1.2.3三角形中的几何计算课件新人教A版必修5_图文


知识点 三角形常用面积公式 1.记△ABC 三边 a,b,c 上的高分别为 ha,hb,hc,则 S=12aha =_12_b_h_b_???_或__12_c_h_c ???_=_12_c_h_c_???_或__12_b_h_b ???_. 2.S=12absin C=_12_a_c_s_i_n_B_???_或__12_b_c_s_in__A_???__= __12_b_c_si_n_A__???或__12_a_c_s_i_n_B_???__. 3.S=12r(a+b+c)(r 为三角形内切圆的半径). 4.海伦公式: S= p?p-a??p-b??p-c????其中p=12·?a+b+c????. 状元随笔 (1)解与三角形面积有关的问题,常需要利用正弦定理、余弦定 理,解题时要注意发现各元素之间的关系. (2)处理三角形问题时还常用到以下关系式: ①l=a+b+c(l 为三角形的周长). ②A+B+C=π. ③S=a4bRc(R 是三角形外接圆的半径). ④S=2R2sin Asin Bsin C(R 是三角形外接圆的半径) [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)三角形的面积公式适用于所有的三角形.( √ ) 解析:三角形面积公式适用于所有的三角形,故正确. (2)在△ABC 中,若 c=b=2,S△ABC= 3,则 A=60°.( × ) 解析:由三角形面积公式 S=12bcsin A 得,12×2×2×sin A= 3, 所以 sin A= 23,则 A=60°或 A=120°. (3)已知三角形两边及其夹角不能求出其面积.( × ) 解析:利用三角形面积公式 S=12absin C 显然能求出其面积, 故命题错误. (4)在△ABC 中,若 a=6,b=4,C=30°,则 S△ABC 的面积是 6.( √ ) 解析:因为三角形的面积 S=12absin C=12×6×4×sin 30°=6. 2.在△ABC 中,A=60°,AB=1,AC=2,则 S△ABC 的值为( ) 1 3 A.2 B. 2 C. 3 D.2 3 解析:S△ABC=12AB·AC·sin A= 3 2. 答案:B 3.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的 大小为( ) A.75° B.60° C.45° D.30° 解析:由 S△ABC=3 3=12BC·CA·sin C=12×3×4sin C 得 sin C= 23,又 C 为锐角.故 C=60°. 答案:B 4.在△ABC 中,a=6,B=30°,C=120°,则△ABC 的面积是 () A.9 B.8 C.9 3 D.18 3 解析:由题知 A=180°-120°-30°=30°, ∴sin630°=sinb30°,∴b=6, ∴S=12×6×6sin 120°=9 3. 答案:C 类型一 与三角形面积相关的计算问题 例 1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2bcos C=acos C+ccos A. (1)求角 C 的大小. (2)若 b=2,c= 7,求 a 及△ABC 的面积. 【解析】 (1)因为 2bcos C=acos C+ccos A, 所以由正弦定理可得: 2sin Bcos C=sin Acos C+cos Asin C, 可得:2sin Bcos C=sin(A+C)=sin B, 因为 sin B>0,所以 cos C=12, 因为 C∈(0,π),所以 C=π3. (2)因为 b=2,c= 7,C=π3, 所以由余弦定理可得: 7=a2+4-2×a×2×12, 整理可得:a2-2a-3=0, 所以解得:a=3 或-1(舍去), 所以△ABC 的面积 S=12absin C=12×3×2× 23=3 3 2. ?1?可用正弦定理将条件转化为角的关系,求出∠C. ?2?即为已知两边及一边的对角求第三边的问题,可用余弦定理 列方程求解. 方法归纳 三角形面积公式有多种形式,应根据题中的条件进行选择.若 已知边角混合条件通常选用 S=12absin C=12bcsin A=12acsin B,这个 公式中含有正弦值,可以和正弦定理建立关系,又由正弦值还可求 出余弦值,这就可以与余弦定理建立关系,另外面积公式中有两边 的乘积,在余弦定理中也有,所以面积公式、正弦定理和余弦定理 之间可以相互变换,关键是根据题中的条件选择正确的变换方向. 跟踪训练 1 在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 所 对的边,且 3a=2csin A. (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= 7,且△ABC 的面积为323,求 a+b 的值. 解析:(1)因为 3a=2csin A,所以sina A= 2c 3 . 由正弦定理知sina A=sinc C, 所以sinc C= 2c ,所以 3 sin C= 23. 因为△ABC 是锐角三角形,所以 C=π3. (2)因为 c= 7,C=π3, 由面积公式得:12absinπ3=323,即 ab=6. 由余弦定理得 a2+b2-2abcosπ3=7, 所以 a2+b2-ab=7,即(a+b)2-3ab=7, 所以(a+b)2=25,所以 a+b=5. 类型二 平面图形中线段长度的计算 例 2 如图,在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, B=45°,b= 10,cos C=2 5 5. (1)求边长 a; (2)设 AB 中点为 D,求中线 CD 的长. 【解析】 (1)由 cos C=255,C∈(0°,90°),得 sin C= 1-cos2C = 1-??2 ? 5 5??2= ? 55, sin A=sin(B+C)


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