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辽宁省铁岭市六校协作体高三上学期第三次联合考试 数学理_图文


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辽宁省铁岭市六校协作体 2013 届高三上学期第三次联合考

试 数学理

数学(理科)试卷 命题学校:西丰高中 考试时间:120 分钟

考试说明:(1)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,

考试时间为 120 分钟;

(2)第Ⅰ卷和第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上,交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,有

只有一项是符合题目要求的. 1、设集合 A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则 A∩( C RB)=

()

A.(1,4)

B.(3,4)

C.(1,3)

D.(1,2)

2、设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y =0 相切,则 C 的圆心轨迹为

A.抛物线

B.双曲线

C.椭圆

D.圆

3、函数 y ? x , x ? (?? , 0) (0,? ) 的图象可能是下列图象中的 ( ) sin x

4、

“a

? 1”是“函数

f (x) ?

2x 2x

?a ?a

在其定义域上为奇函数”的(



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5、已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6x 则 m ? x 2 ? y 2 ?1的最大值为( )

A.2

B.3

C. 4

D. 7

2

6.设 Sn 是等差数列的前 n 项和,若 a1 ? 1,公差 d ? 2 ,Sk?2 ? Sk ? 24 ,则 k ?(



A.5

B.6

C.7

D. 8

7.已知两点 A(1, 0), B(1, 3), O 为坐标原点,点 C 在第二象限,且 ?AOC ? 120? ,设

OC ? ?2OA ? ?OB, (? ? R),则? 等于 ( )

A. ?1

B.2

C. ? 2

D.1

8.F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A,B,C 为抛物线上三点.O 为坐标原点,若 F 是△ABC 的重

心,

△OFA,△OFB,△OFC 的面积分别为 S1,S2,S3 ,则 S12 + S22 + S32 的值为:

A. 3

B. 4

C. 6

D. 9

9.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a,b, c 是常数,等式右边的运算

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是通常的加法和乘法运算。已知1? 2 ? 3 , 2 ?3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得对任

意实数 x , 都有 x ? m ? x ,则 m 的值是( )

A.- 4

B.4

C. ?5

D. 6

10.如图,?PAB 所在的平面? 和四边形 ABCD 所在的平面 ? 互

相垂直,且 AD ? ? ,BC ? ? ,AD ? 4 ,BC ? 8 ,AB ? 6 . 若 tan ?ADP ? 2 tan ?BCP ? 1,则动点 P 在平面? 内
的轨迹是

A.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分

B.线段 D.以上都不是

?
A ?D

P B C

11.如图所示,点 P 是函数 y ? 2sin(?x ? ?) (x ? R,? ? 0) 的图象的最高点,M , N 是

该图象与 x 轴的交点,若 PM ? PN ? 0 ,则? 的值为

(A) ? 8

(B) ? 4

(C) 4

(D) 8

12. 已 知 函 数 g(x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的 导 函 数 为 f (x) , a ? b ? c ? 0 且

f (0) ? f (1) ? 0 ,设 x1 , x2 是方程 f (x) ? 0 的两根,则 x1 ? x2 的取值范围为

A.[1 , 3 ) 33

B.[1 , 4) 39

C. [ 3 , 2) 33

D.[1 , 1) 93

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)

二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小

题 5 分, 共 20 分

13.已知一个几何体的三视图及其长度

如图所 示,则该几何体的体积



.

14.如右图,是一程序框图,则输出结果

为 __

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? ? ? 15.若 a ?

1
xdx, b ?

1

1 ? xdx, c ?

1

1 ? x 2 dx ,则 a, b, c 的大小关系是 (



0

0

0

16. 已知正数 a ,b ,c 满足: 5c ? 3a ≤ b ≤ 4c ? a ,c ln b ≥ a ? c ln c ,则 b 的取值范围是____. a
三、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

17.

(1)已知集合

P

?

? ?

x

?

1 2

?

x ? 3?? , ?

函数

f

(x) ? log2 (ax2

? 2x ? 2) 的定义域为 Q 。

若P

Q

?

? ??

1 2

,

2 3

? ??

,

P

Q ? (?2,3],求实数 a 的值;

(2)函数 f (x) 定义在R 上且 f (x ? 3) ?

f (x), 当1 ? 2

x ? 3 时,

f (x) ? log2(ax2 ? 2x ? 2) ,

若 f (35) ? 1,求实数 a 的值。

18、(本题满分 12 分)在 ?ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 a cos C ,b cos B,c cos A

成等差数列。(1)求 B 的值;(2)求 2 sin2 A ? cos( A ? C ) 的取值范围。

19(本小题满分 12 分)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,数列{bn} 的前 n 项和为 Tn ,{bn} 为

等差数列且各项均为正数, a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1(n ? N* ), b1 ? b2 ? b3 ? 15

(1)求数列{ an }的通项公式;

(2)若 a1

?

b1, a2

? b2,a3

?

b3

成等比数列,求

1 T1

?

1 T2

? …+

1 Tn

20.(本题满分 12 分)已知四边

形 ABCD 满足 AD ∥ BC ,

BA ? AD ? DC ? 1 BC ? a 2

, E 是 BC 的 中 点 , 将

?BAE 沿 着 AE 翻 折 成

?B1 AE , 使 面 B1AE ? 面

AECD , F 为 B1D 的中点.

(Ⅰ)求四棱 B1 ? AECD 的体积;

(Ⅱ)证明: B1E ∥面 ACF ;

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(Ⅲ)求面 ADB1 与面 ECB1 所成二面角的余弦值.
21. (本题满分 12 分)已知点 A(0,1)、B(0,-1),P 为一个动点,且直线 PA、PB 的斜
率之积为 ? 1 . 2
(I)求动点 P 的轨迹 C 的方程;
(II)设 Q(2,0),过点(-1,0)的直线 l 交 C 于 M、N 两点, ?QMN 的面积记为 S,

若对满足条件的任意直线 l ,不等式 S ? ? tan ?MQN恒成立,求? 的最小值。

22(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 1 x 2 ? ( 3 a 2 ? 1 a) ln x ? 2ax , a ? R .

2

42

(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求函数 f (x) 的极值点; 2

(Ⅱ)若函数 f (x) 在导函数 f ?(x) 的单调区间上也是单调的,求 a 的取值范围;

(Ⅲ) 当 0 ? a ? 1 时,设 g(x) ? f (x) ? ( 3 a2 ? 1 a ? 1) ln x ? (a ? 1 )x2 ? (2a ? 1)x ,

8

42

2

且 x1, x2 是函数 g(x) 的极值点,证明: g(x1) ? g(x2 ) ? 3 ? 2 ln 2 .

高三数学(理)答案(2012.11)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12

答案 B A C

BADA

B CB

C

A

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.)

1

5

13

14

2

11

15 a<b<c 16

?e,7? .

三、解答题:

17.【答案】解:解:(1)由条件知 Q ? (?2, 2) 即 ax2 ? 2x ? 2 ? 0 解集 (?2, 2) .

3

3

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a

?

0



ax2

?

2x

?

2

?

0

的二根为

?2,

2 3

.∴

?2

?? a

? ?

2

? ?

? ?

4 3 4

,∴

a

?

?

3 2

………5



?? a 3

(2)∵ f (x) 的周期为 3, f (35) ? f (3?11? 2) ? f (2) ? log2 (a ? 22 ? 4 ? 2) ? 1, 所以 a ? 1………………………………………………………………………..10 分

18 解 ⑴ 由 题 意 得 a cos C ? c cos A ? 2b cos B , 又 a ? 2R sin A,b ? 2R sin B ,

c ? 2R sin C , 得 sin(A ? C) ? 2sin B cos B , 即 sin B ? 2sin B cos B , 在 ?ABC 中 ,

0?B?? ,

∴ sin B ? 0 ,∴ cos B ? 1 ,又 0 ? B ? ? ,∴ B ? ? 。 -----6 分

2

3

⑵ A ? C ? 2? , 2sin2 A ? cos(2A ? 2? ) ? 1? cos 2A ? cos(2A ? 2? )

3

3

3

? 1? cos 2A ? 1 cos 2A ? 3 sin 2 A ? 1? 3 sin 2A ? 3 cos 2A ? 1? 3 sin(2A ? ? )

2

2

2

2

3

∵ 0 ? A ? 2? ,∴ ? ? ? 2A ? ? ? ? ,∴ ? 3 ? sin(2A ? ? ) ≤1,

3

3

3

2

3

∴ 2sin2 A ? cos( A ? C) 的取值范围是 (? 1 ,1? 3] .-----12 分 2

19

【答案】解:(1) a2 ? 2S1 ?1 ? 3 ? 3a1 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? (2Sn ?1) ? (2Sn?1 ?1) ? 2an ………………………………3 分

∴ a n?1

?

3a


n,

a n?1 an

?3

又a2 ? 3

a2 a1

?3

∴数列?an? 是首项 a ? 1,公比为 3 的等比数列…………………………4 分

从而得: an ? 3n?1

…………………………6 分

(2)设数列?bn? 的公差为 d(d ? 0) ∵ T3 ? 15,? b2 ? 5

依题意有 (a2 ? b2 )2 ? (a1 ? b1)(a3 ? b3 ),?64 ? (5 ? d ?1)(5 ? d ? 9)

解之得d ? 2或d ? ?10 (舍去) ……………………………………8 分

故 Tn

?

3n ?

n(n ?1) ? 2 2

?

2n 2

? 2n

……………………………………10 分

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所以 1 T1

?

1 T2

? …+

1 Tn

=

1 2

???(

1 1

?

1 2

? …+

1 n

)?(1 3

?

1 4

? …+

1 n+

2

)???

1 2

? ?( ?

1 1

?

1 2

)

?

? ??

n

1 ?1

?

n

1 ?

2

?? ????

=

3 4

?

2(n

2n ? 3 ?1)(n ?

2)

…………12分

20(Ⅰ)取

AE

的中点

M

,

连接

B1M

,因为

BA

?

AD

?

DC

?

1 2

BC

?

a

,?ABE

为等边三角形,则 B1M ?

3 2

a

,又因为面

B1 AE

?



AECD ,所以

B1M

?



AECD ,……2 分

所以V ? 1 ? 3 a ? a ? a ? sin ? ? a3 …………4 分

32

34

(Ⅱ)连接 ED 交 AC 于 O ,连接 OF ,因为 AECD 为菱形, OE ? OD ,又 F 为 B1D 的

中点,所以 FO ∥ B1E ,所以 B1E ∥面 ACF ……………8 分

(Ⅲ)连接 MD ,分别以 ME, MD, MB1 为 x, y, z 轴

则 E( a , 0, 0),C(a, 2

3 a, 0), A(? a , 0, 0), D(0,

2

2

3 2 a, 0), B1(0, 0,

3 a) 2

EC ? ( a , 2

3a 2

,

0),

EB1

?

(?

a 2

,

0,

3a ), AD ? ( a ,

2

2

3a 2

,

0),

AB1

?

(

a 2

,

0,

3a ) ……10 分 2

设面

ECB1

的法向量

v

?

(

x?,

y?,

z?)



? ?? ?

a 2

x?

?

3 ay? ? 0 2

,令 x? ? 1,则 u ? (1, ?

????

a 2

x?

?

3 az? ? 0 2

3, 3

3) 3

设面

ADB1

的法向量为

u ? (x, y, z)



? ??

a 2

x

?

?

3 ay ? 0 2

,令

x ?1

,则

? ??

a 2

x

?

3 az ? 0 2

v ? (1, ? 3 , ? 3 ) ……12 分 33

则 cos ? u, v ??

1? 1 ? 1 33

? 3 ,所以二面角的余弦值为 3 ……12 分

1? 1 ? 1 ? 1? 1 ? 1 5

5

33

33

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21 解:(I)设动点 P 的坐标为 (x, y),则直线PA, PB的斜率分别是 y ?1 , y ? 1. xx

由条件得 y ?1 ? y ? 1 ? ? 1 . 即 x 2 ? y 2 ? 1(x ? 0).

xx

2

2

所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1(x ? 0). -----(4 分) 2

(II)设点 M,N 的坐标分别是 (x1, y1 ), (x2 , y2 ).

当直线 l垂直于x轴时, x1

?

x2

?

?1, y1

?

? y2 , y12

?

1. 2

所以 QM ? (x1 ? 2, y1 ) ? (?3, y1 ),QN ? (x2 ? 2, y2 ) ? (?3,? y1 )

所以 QM

? QN

?

9?

y12

?

17 . 2

当直线 l不垂直于x轴时,设直线l的方程为y ? k(x ? 1).

?x2



? ?

2

?

y2

? 1,得(1 ? 2k 2 )x 2

? 4k 2 x ? 2k 2

?2

? 0.

??y ? k(x ? 1)

所以 x1

?

x2

?

4k 2 ?
1 ? 2k 2

, x1x2

?

2k 2 ? 2 .
1 ? 2k 2

所以 QM ? QN ? (x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y2 ? x1x2 ? 2(x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 .

因为 y1 ? k(x1 ? 1), y2 ? k(x2 ? 1).

所以 QM

? QN

?

(k 2

? 1)x1x2

?

(k 2

?

2)( x1

?

x2 )

?

k2

?

4

?

17 2

?

13 2(1 ? 2k 2 )

?

17 . 2

综上所述 QM ? QN的最大值是 17 . 因为 S ? ? tan ?MQN 恒成立 2

即 1 | QM | ? | QN | sin ?MQN ? ? sin ?MQN 恒成立

2

cos ?MQN

由于 QM ? QN ? 17 ? 13 ? 0. 所以 cos ?MQN ? 0. 2 2(1 ? 2k 2 )

所以 QM ? QN ? 2? 恒成立。 所以 ?的最小值为17 . ----12 分 4

22 解:

(Ⅰ)f(x)=

1 2

x2-

1 16

lnx+x

(x ? 0)

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1

16x2+16x-1

f’(x)=x - 16x + 1= 16x =0

-2- 5

-2+ 5

∴x1= 4 ,x2= 4 ………1 分

? ? ∵(0,-2+4 5

单调减

-2+ 5 4

,+∞)单调增

∴f(x)在 x=

-2+ 4

5

时取极小值………2 分

x2-2ax+

3 4

a2+

1 2

a

(Ⅱ)解法一:f’(x)=

x

(x ? 0) ………3 分

令 g(x)=x2-2ax+

3 4

a2+

1 2

a,

△=4a2-3a2-2a=a2-2a,设 g(x)=0 的两根 x1, x2 (x1

?

x2 )

10 当△≤0 时 即 0≤a≤2,f’(x)≥0∴f(x)单调递增,满足题意………4 分

20 当△>0 时 即 a<0 或 a>2 时

(1)若 x1

?0?

x2 ,则

3 4

a2 +

1 2

a<0

2 即- 3 <a<0 时,

3 4

a2 +

1 2

a

f (x) 在 (0, x2 ) 上 减 , (x2 ,??) 上 增 f’(x)=x+

x

-2a

,f’’(x)=1-

3 4

a2 +

1 2

a

x2

≥0

∴f’(x) 在(0,+∞)单调增,不合题意………5 分

(2)若 x1 ? x2

?0



?3 ? ?4

a2

?

1 2

a

?

0

,即

a≤-

2 3

时 f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意。

??a ? 0

6分

(3)

若0 ?

x1

?

x2



? ? ?

3 4

a

2

?

1a 2

?

0

??a ? 0

即 a>2 时

∴f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,不合题意………7 分

综上得 a≤-

2 3

或 0≤a≤2.

………8 分

(Ⅲ)

g (x)=-ln x-ax2+x,g ?(x)=-

1 x

-2ax+1=-2ax2-x x+1.

令 g ?(x)=0,即 2ax2-x+1=0,当 0<a<

1 8

时,Δ=1-8a>0,所以,方程 2ax2-x

+1=0 的两个不相等的正根 x1,x2,不妨设 x1<x2,则当 x∈(0,x1)∪(x2,+∞)时,g ?(x) <0,当 x∈(x1,x2)时,g ?(x)>0,
所 以 , g (x)有极小值点 x1 和极大值点 x2,且 x1+x2=21a,x1x2=21a.

g (x1)+g (x2)=-ln x1-ax21+x1-ln x2-ax22+x2

=-(ln x1+ln x2)-

1 2

(x1-1)-

1 2

(x2-1)+(x1+x2)

=-ln(x1x2)+

1 2

(x1+x2)+1=ln(2a)+41a+1.………10 分

令 h (a)=ln(2a)+41a+1,a∈(0,

1 8

],

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则当 a∈(0,

1 8

)时,h ?(a)=

1 a

-41a2=4a4-a21<0,h (a)在(0,

1 8

)单调递减





h (a)>h (

1 8

)=3-2ln 2,即 g (x1)+g (x2)>3-2ln 2.

………12 分



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