您现在的位置:首页 > 数学 >

2019-2020学年高三数学 名校尖子生培优大专题 数学解题方法之反证法和数学归纳法探讨教案 新人教A版.doc_图文


2019-2020 学年高三数学 名校尖子生培优大专题 数学解题方法之反证法和数学 归纳法探讨教案 新人教 A 版
3~8 讲, 我们对数学思想方法进行了探讨, 从第九讲开始我们对数学解题方法进行探讨。 数学问题中, 常用的数学解题方法有待定系数法、配方法、换元法、数学归纳法、反证法等。 反证法是“间接证明法”一类,是从反面的角度的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛 盾。具体地讲,反证法就是从反论题入手,把命题结论的否定当作条件,使之得到与条件相矛盾,肯定了 命题的结论,从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时,一定要用到“反设”,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命 题的方面情况只有一种,那么只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方 面情况有多种,那么必须将所有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。 数学上证明与自然数 N 有关的命题的一种特殊方法,它主要用来研究与自然数有关的数学问题, 在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。 一般地,在高中数学中证明一个与自然数 n 有关的命题 P(n ),有如下步骤: ( 1 )证明当 n 取第一个值 n 0 时命题成立。 n 0 对于一般数列取值为 0 或 1 ,但也有特殊情况; ( 2 )假设当 n=k (k≥n 0 , k 为自然数)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立。 综合( 1 )( 2 ),对一切自然数 n (≥n 0 ),命题 P(n )都成立。 结合 2012 年全国各地高考的实例探讨反证法和数学归纳法的应用: 一、反证法的应用: 典型例题: 例 1 :( 对 于 数 集 X ? {?1, x1 , x2 ,

, xn } , 其 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定 义 向 量 集

Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X, t ? X} . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如

X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P.
(1)若 x >2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (4 分) (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 x n>1 时, x 1=1; (6 分) (3)若 X 具有性质 P,且 x 1=1, x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1 , x2 , ?, xn 的通项公式.(8 分) 【答案】解:(1)选取 a1 ? ( x, 2) ,则 Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) 。 ∴ x =2b ,从而 x =4。

(2)证明:取 a1 ? ( x1 , x1 ) ? Y ,设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 。 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,∴ s 、 t 异号。 ∵-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1。 故 1?X。 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn 。 选取 a1 ? ( x1 , xn ) ? Y ,并设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 。 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1。 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. ∴ x1 =1。 (3)猜测 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 记 A k ? {?1, 1, x2 ,

, xk } , k =2, 3, …, n 。

先证明:若 A k ?1 具有性质 P,则 A k 也具有性质 P。 任取 a1 ? ( s, t ) , s 、 t ? A k .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 。 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1。 ∵ A k ?1 具有性质 P,∴有 a2 ? ( s1 , t1 ) , s1 、 t1 ? A k ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 。 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1, 假设 t1 ? A k ?1 且 t1 ? A k ,则 t1 ? xk ?1 。 由 ( s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 s ? A k 矛盾。 ∴ t1 ? A k ,从而 A k 也具有性质 P。 现用数学归纳法证明: xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 当 n =2 时,结论显然成立。 假设 n ? k 时, A k ? {?1,1, x2 ,

, xk } 有性质 P,则 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, k ;

则当 n ? k +1 时,若 A k ?1 ? {?1,1, x2 , 也有性质 P,所以 A k ?1 ? {?1,1, q,

, xk , xk ?1} 有性质 P,则 A k ? {?1, 1, x2 ,

, xk }

, q k ?1 , xk ?1} 。

取 a1 ? ( xk ?1 , q ) ,并设 a2 ? ( s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 。 由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1。 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?

q ? q ,这不可能; s

∴ s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? q k ?1 ? q k ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k 。 综上所述, xi ? q i ?1 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。 【解析】 (1)根据题设直接求解。 (2)用反证法给予证明。 (3)根据题设,先用反证法证明:若 A k ?1 具有性质 P,则 A k 也具有性质 P,再用数学归纳法证明 猜测 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 例 2:设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值不大于 1,且所有数的和为零, 记 s(m,n)为所有这样的数表构成的集合。 对于 A∈S(m,n),记 Ri(A)为 A 的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m) ,Cj(A)为 A 的第 j 列各数之和(1≤j≤n) ; 记 K(A)为∣R1(A)∣,∣R2(A)∣,…,∣Rm(A)∣,∣C1(A)∣,∣C2(A)∣,…,∣Cn(A)∣中的最小值。 (1)对如下数表 A,求 K ? A ? 的值; 1 0.1 (2)设数表 A∈S(2,3)形如 1 a 求 K ? A ? 的最大值; (3)给定正整数 t,对于所有的 A∈S(2,2t+1) ,求 K ? A ? 的最大值。 【答案】解: (1)由题意可知 r1 ? A ? =1.2,r2 ? A ? = ? 1.2,c1 ? A ? =1.1,c 2 ? A ? =0.7,c3 ? A ? = ? 1.8 , 1 b c -1 1 -0.3 -0.8 -1

∴ K ? A ? ? 0.7 。 (2)先用反证法证明 K ? A ? ? 1 : 若 K ? A ? > 1 ,则 C1 ? A ? = a ? 1 > 1 ,

? ??1 < a < 1 ??1 < a < 1 ? a <1 ?? 或? ∴? (无解) 0 < a < 1 。 a ? 1 > 1 a ? 1 < ? 1 a ? 1 > 1 ? ? ? ?
同理可知 0 < b < 1 。 ∴0<a ? b<2。 由题设所有数和为 0,即 a ? b+c ? 1=0 ? a ? b= ? 1 ? c , ∴ 0 < ?1 ? c < 2 ,解得 ?3 < c < 1 ,与题设 c ? 1 矛盾。 ∴ K ?A? ? 1。 易知当 a=b=0 时, K ? A ? =1 存在。 ∴ K ? A ? 的最大值为 1。 (3) K ? A ? 的最大值为

2t ? 1 。 t+2 2t ? 1 首先构造满足 K ? A ? = 的 A= a i,j ?i=1, 2; j=1,2, ???,2t+ 1? : t+2 t ?1 , a1,1 =a1,2 = ???=a1,t =1,a1,t+1 =a1,t+2 = ???=a1,2t+1 = t+2

? ?

a 2,1 =a 2,2 = ???=a 2,t =

t2 ? t ?1 ,a 2,t+1 =a 2,t+2 = ???=a 2,2t+1 = ? 1 。 t ? t ? 2?

经计算知, A 中每个元素的绝对值都小于 1,所有元素之和为 0,且

r1 ? A ? = r2 ? A ? =

t2 ? t ?1 t+1 2t+1 2t+1 >1 ? > , c1 ? A ? = c 2 ? A ? = ???= c t ? A ? =1 ? , t ? t ? 2? t+2 t+2 t+1

c t ?1 ? A ? = c t ? 2 ? A ? = ???= c 2t+1 ? A ? =1+
下面证明

t ? 1 2t+1 = 。 t+2 t+2

2t+1 是最大值。 t+2 2t+1 。 t+2

若不然,则存在一个数表 A∈S(2,2t+1) ,使得 K ? A ? =x >

由 K ? A ? 的定义知 A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于 x ,而两个绝对值不超过 1 的数的和,其绝对值不超过 2,故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 ? x,2? 中. 由于 x > 1 ,故 A 的

每一列两个数符号均与列和的符号相同,且绝对值均不小于 x ? 1 。 设 A 中有 g 列的列和为正, 有 h 列的列和为负, 由对称性不妨设 g < h , 则 g ? t,h ? t+1 。 另外,由对称性不妨设 A 的第一行行和为正,第二行行和为负。 考虑 A 的第一行,由前面结论知 A 的第一行有不超过 t 个正数和不少于 t+1 个负数,每个 正数的绝对值不超过 1(即每个正数均不超过 1) ,每个负数的绝对值不小于 x ? 1 (即每个负数均不超过 。 1? x ) 因此 r1 ? A ? =r1 ? A ? ? t ? 1 ? ? t ? 1??1 ? x ? =2t ? 1 ? ? t ? 1? x=x ? ? ?2t ? 1 ? ? t+2 ? x ? ? < x ,故 A 的 第一行行和的绝对值小于 x ,与假设矛盾。 因此 K ? A ? 的最大值为 【考点】逻辑推理,反证法的应用。 【解析】(1)根据 ri(A)为 A 的第 i 行各数之和(i=1,2),c j(A)为 A 的第 j 列各数之和(j=1,2, 3);求出|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值可即为所求。 (2)用反证法证明。 (3)先构造满足 K ? A ? = 大值。 例 3:已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

2t+1 。 t+2

2t ? 1 2t+1 的 A= a i,j ?i=1, 2; j=1,2, 是最 ???,2t+ 1? ,用反证法证明 t+2 t+2

? ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n ? N *,

(1)设 bn ?1

? b ?? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? a an ? ?? n ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn ?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2
bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?



2 2 2 2 ? 2 ? ? bn ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? bn ?1 ? 1 ? ? ? 。∴ ? ∴ ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N * ? an ?1 ? ? an ?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? an ? ? ?
2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 a ? ?? n ? ? ?

2



(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an ?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 时, an ?1 ? a1q n > 2 ,与(﹡)矛盾。 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an ?1 ? a1q n < 1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。 又∵ bn ?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1 ? 1 ?

bn ?b ? b ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而证明 an ?1 an ? an ?

2

? bn ?1 ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an ?1 ?

2

2

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的公比 q =1 。

从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn ?1 ? 2 ? 证法求出 a1 =b2 = 2 。 二、数学归纳法的应用: 例 1 :( 对 于 数 集 X ? {?1, x1 , x2 ,

bn 2 2 的等比数列。最后用反 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

, xn } , 其 中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 , 定 义 向 量 集

Y ? {a | a ? ( s, t ), s ? X, t ? X} . 若对于任意 a1 ? Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例如

X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P.
(1)若 x >2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (4 分) (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 x n>1 时, x 1=1; (6 分) (3)若 X 具有性质 P,且 x 1=1, x2 ? q ( q 为常数) ,求有穷数列 x1 , x2 , ?, xn 的通项公式.(8 分) 【答案】解:(1)选取 a1 ? ( x, 2) ,则 Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b) 。 ∴ x =2b ,从而 x =4。 (2)证明:取 a1 ? ( x1 , x1 ) ? Y ,设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 。 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,∴ s 、 t 异号。 ∵-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1。 故 1?X。 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn 。 选取 a1 ? ( x1 , xn ) ? Y ,并设 a2 ? ( s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 。 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1。 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. ∴ x1 =1。 (3)猜测 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 记 A k ? {?1, 1, x2 ,

, xk } , k =2, 3, …, n 。

先证明:若 A k ?1 具有性质 P,则 A k 也具有性质 P。 任取 a1 ? ( s, t ) , s 、 t ? A k .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 。 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1。 ∵ A k ?1 具有性质 P,∴有 a2 ? ( s1 , t1 ) , s1 、 t1 ? A k ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 。 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1, 假设 t1 ? A k ?1 且 t1 ? A k ,则 t1 ? xk ?1 。 由 ( s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与 s ? A k 矛盾。 ∴ t1 ? A k ,从而 A k 也具有性质 P。 现用数学归纳法证明: xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 当 n =2 时,结论显然成立。 假设 n ? k 时, A k ? {?1,1, x2 ,

, xk } 有性质 P,则 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, k ; , xk , xk ?1} 有性质 P,则 A k ? {?1, 1, x2 , , xk }

则当 n ? k +1 时,若 A k ?1 ? {?1,1, x2 , 也有性质 P,所以 A k ?1 ? {?1,1, q,

, q k ?1 , xk ?1} 。

取 a1 ? ( xk ?1 , q ) ,并设 a2 ? ( s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 。 由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1。 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?

q ? q ,这不可能; s

∴ s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? q k ?1 ? q k ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k 。 综上所述, xi ? q i ?1 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 【考点】数集、集合的基本性质、元素与集合的关系,数学归纳法和反证法的应用。 【解析】 (1)根据题设直接求解。 (2)用反证法给予证明。 (3)根据题设,先用反证法证明:若 A k ?1 具有性质 P,则 A k 也具有性质 P,再用数学归纳法证明 猜测 xi ? q i ?1 ,i=1, 2, …, n 。 例 2: 函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 。 定义数列 ? xn ? 如下:x1 ? 2, xn ?1 是过两点 P (4,5), Qn ( xn , f ( xn )) 的直线 PQn
2

与 x 轴交点的横坐标。 (1)证明: 2 ? xn ? xn ?1 ? 3 ; (2)求数列 ? xn ? 的通项公式。 【答案】解: (1)∵ f (4) ? 4 ? 8 ? 3 ? 5 ,∴点 P (4,5) 在函数 f ( x) 的图像上。
2

∴由所给出的两点 P (4,5), Qn ( xn , f ( xn )) ,可知,直线 PQn 斜率一定存在。 ∴直线 PQn 的直线方程为 y ? 5 ?

f ( xn ) ? 5 ( x ? 4) 。 xn ? 4

令 y ? 0 ,可求得 ?5=

4x ? 3 xn 2 ? 2 xn ? 8 ? x ? 4 ? ,解得 x = n 。 xn ? 2 xn ? 4

∴ xn ?1 ?

4 xn ? 3 。 xn ? 2

下面用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 : 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ,满足 2 ? x1 ? 3 , 假设 n ? k 时, 2 ? xk ? 3 成立,则当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ?

4 xk ? 3 5 , ? 4? xk ? 2 xk ? 2

由 2 ? xk ? 3 得, 4 ? xk ? 2 < 5 ,即 1 < ∴ 2 ? xk ?1 ? 3 也成立。

5 5 11 5 ? ,∴ 1 < ? 4 ? <3。 xk ? 2 4 4 xk ? 2

综上可知 2 ? xn ? 3 对任意正整数恒成立。 下面证明 xn ? xn ?1 : ∵ xn ?1 ? xn ?

4 xn ? 3 4 x ? 3 ? xn 2 ? 2 xn ?( xn ? 1) 2 ? 4 ? xn ? n ? , xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2
2

∴由 2 ? xn ? 3 得, 1 ? xn ? 1 < 2 。∴ 0 < ? ? xn ? 1? ? 4 ? 3 。 ∴ xn ?1 ? xn ? 0 即 xn ? xn ?1 。 综上可知 2 ? xn ? xn ?1 ? 3 恒成立。

(2)由 xn ?1 ?

4 xn ? 3 4x ? 3 得到该数列的一个特征方程 x ? 即 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , x?2 xn ? 2

解得 x ? 3 或 x ? ?1 。 ∴ xn ?1 ? 3=

4x ? 3 5x ? 5 4 xn ? 3 x ?3 ① , xn ?1 ? (?1) ? n ②。 ? 3= n ?1 ? n xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2 xn ? 2 xn ?1 ? 3 1 xn ? 3 。 ? ? xn ?1 ? 1 5 xn ? 1

两式相除可得



x1 ? 3 2 ? 3 1 ? ?? x1 ? 1 2 ? 1 3

∴数列 ?

? xn ? 3 ? xn ? 3 1 1 1 1 ? ? ? ( ) n ?1 。 ? 是以 ? 为首项以 为公比的等比数列 3 5 xn ? 1 3 5 ? xn ? 1 ?

9 ? 5n ?1 ? 1 4 ∴ xn ? 。 ? 3? n ?1 3? 5 ?1 3 ? 5n ?1 ? 1
【考点】数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用,不等式的证明,数学归纳法。 【解析】 (1)先从函数入手,表示直线方程,从而得到交点坐标,再运用数学归纳法证明 2 ? xn ? 3 ,运用 差值法证明 xn ? xn ?1 ,从而得证。 (2)根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通项。



热文推荐
友情链接: 工作计划 总结汇报 团党工作范文 工作范文 表格模版 生活休闲