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数列通项公式求法集锦和对应练习


第一讲:数列的通项公式
一、考纲要求

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公 式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 3.已知 Sn ,则 an ? ?
S1 (n ? 1) ,数列 {an }中,若 an 最大,则 ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) ?

?an ? an?1 ?a ? a ,若 an 最小,则 ? n n?1 。 ? ?an ? an?1 ?an ? an?1

二、分类解析(数列的知识主要通过讲解,帮助学生理解,再次就是练习,对应的练习可 以增强和巩固学生对数列通项的掌握)
数列的通项的求法:

1.观察法: ①奇数列 an ? 2n ②偶数列 an ? 2n ? 1 ③正负交错数列:1,-1,1,-1,……, an ? (?1)n?1 ; -1,1,-1,1,……, an ? (?1)n ④零一交错数列:1,0,1,0,1,0,……, an ?
1 ? (?1) n ?1 n? ?| sin |; 2 2

1 ? (?1) n n? ?| cos | 0,1,0,1,0,1,……, an ? 2 2

练习:已知数列 3 ,5 ,7 __________

1 4

1 8

1 1 ,9 , ? 试写出其一个通项公式: 16 32

(答: an ? 2n ? 1 ?

1 ) 2n ?1

2 公式法:

1

(1) 差数列通项公式:an=a1+(n-1)d (2) 已知数列 an 为等差数列, 公式. =2,公差 d=3,求数列 的通项

(3) 已知数列

=

+3 ,且 =2, 求数列

的通项公式.

an ?

,(n ? 1) ?S S ? S ,(n ? 2)
1 n n ?1

3.作差法:已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法:

例题: 1).已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ?1) ? n ? 1 ,求 an

n ?1 (答: an ? 3, ); 2n , n ? 2

?

2).数列 {an } 满足 a1 ?

1 2

1 a2 ? 22

?

1 a ? 2n ? 5 ,求 an n n 2

2

n ?1 (答: an ? 14, ) 2n ?1 , n ? 2

?

对应习题:已知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求
an

4.作商法:已知 a1 a2
f (1),(n ? 1) ? ? an ? ? f (n) ,(n ? 2) 。 ? ? f (n ? 1)

an ? f (n) 求 an ,用作商法:

例题:数列 {an } 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______ (答: 5.累加法:若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) 。 例题:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? =________
1 n ?1 ? n
(n ? 2) ,则 an

61 ) 16

(答: an ? n ?1 ? 2 ? 1)

3

6.累乘法: ? 法;

a1 ? a a a a ,型求 an 问题,可用 an ? a1 ? 2 ? 3 ? …? n 方 a1 a2 an?1 ?an ? f (n)an?1 ?

(答: an ?

4 ) n(n ? 1)

7.构造法:已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数 列)。特别地, 形如 an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? b ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待
n

定系数法转化为公比为 k 的等比数列后,再求 an 。 ? 求 an 问题,起关键是确定待定系数 ? ,使
an ?1 ? ? ? q(an ? ? ) ? ? ? b 。 q ?1

a1 ? a 型, ?an?1 ? qan ? b ?

例题:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1 ,写出数列的前 6 项及 ?an ? 的通项公式。 【解析】 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1,
?a2 ? 5, a3 ? 15, a4 ? 31, a5 ? 63, a6 ? 127.
an?1 ? 2an ? 1变形为 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,由此可得下面 n-1 个式子 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) an?1 ? 1 ? 2(an?2 ? 1) an?2 ? 1 ? 2(an?3 ? 1)

……

4

a2 ? 1 ? 2(a1 ? 1) 。

将这 n-1 个等式相乘,得 an ? 1 ? 2n?1 (a1 ? 1) 。 又 a1 ? 3
an ? 2n?1 ?1

对应习题:①已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 ,求 an

( 答 : an ? 2 3n?1 ? 1) ; ②已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5 3n?1 ? 2n?1 );

8.倒数法:形如 an ?
an ?1 ?

an ?1 的递推数列都可以用倒数法求通项。(或 kan ?1 ? b

an ,两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q ) pan ? q

例题:1.已知 a1 ? 1, an ?

an ?1 ,求 an 3an ?1 ? 1

( an ?

1 ); 3n ? 2

5

2.已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an

( 答 : an ?

1 ) n2

注意:(1)用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到此等 式成立的条件了吗?( n ? 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 );(2)一般地当 已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时,常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式,然后再求解。 对应习题:数列 {an } 满足 a1 ? 4, Sn ? S n ?1 ? an ?1 ,求 an
5 3

4, n ? 1 (答: an ? 3 ) 4n ?1 , n ? 2

?

跟踪练习
1)已知数列{ 项公式. }满足 =1, = +1,(n∈ ) ,求数列 的通

6

2) 已知数列{ }满足 求数列 的通项公式

=1,

=4,

=

, (n∈

) ,

. 3)已知 为数列 的前 n 项和,且 = -3n,求数列 的通项公式.

,

4) 已知 为数列

的前 n 项和,

-2, 求数列

的通项公式.

7



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