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2020版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理课件新人教A版必修5


课标要求 1.掌握正弦定理并能应用它解三角形. 2.会判断三角形的形状. 3.能根据正弦定理确定三角形的解的个数. 知识导图 学法指导 1.由研究特殊的三角形到一般的三角形,从而得到任意三角形 的边角之间的数量关系.注意体会利用向量的运算证明正弦定理. 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时,注意对解的个数 进行确定,常用到“大边对大角”“三角形内角和为 180°”. 3.在解三角形时应养成作图分析的习惯. 知识点一 正弦定理及常见变形 文字 语言 在一个三角形中,各边和它所对应角的正__弦__的比相等 符号 语言 a sin A=sinb B=sinc C=2R(R 为△ABC 外接圆半径) a=2Rsin A,b=_2_R_s_in__B__,c=_2_R_s_in__C__, 常见 变形 sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR, A:b:c=_si_n_A__:__s_in__B_:__s_in__C,sin a+b+c A+sin B+sin C=2R 状元随笔 正弦定理的理解 (1)适应范围:正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式:是分子为三角形的边长,分母为相应边所对角的 正弦的连等式. (3)揭示规律:正弦定理指出的是三角形中三条边与所对角的正 弦之间的一个关系式,它描述了三角形中边与角的一种数量关系. 知识点二 解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的__元__素____.已知三角形的几个元素求其他元素的过程 叫做_解__三__角__形_. 状元随笔 在三角形中,我们还可能用到下列已知结论: (1)三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,即在 △ABC 中,a+b>c,|a-b|<c. (2)大边对大角 a>b?A>B?sin A>sin B,cos A<cos B. (3)在△ABC 中,A+B+C=π,A+2 B=π2-C2?sin(A+B)=sin C , cos(A+B)=-cos C , sinA+2 B=cosC2. [小试身手] 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC 中,若sina A=cobs B=cocs C,则 A=90°.( √ ) 解析:由正弦定理可知,sin B=cos B,sin C=cos C,所以 B =C=45°,故 A=90°. (2)在△ABC 中,若 sin 2A=sin 2B,则 a=b.(× ) 解析:由 sin 2A=sin 2B 可得 A=B 或 2A+2B=π,所以 a=b 或 a2+b2=c2. (3)在△ABC 中,若 sin A>sin B,则 A>B;反之,若 A>B,则 sin A>sin B.(√) 解析:在△ABC 中,sin A>sin B?a>b?A>B. (4)在△ABC 中,sina A=sin b+c B+sin C.( √ ) 解析:因为sina A=sinb B=sinc C,所以sina A=sin b+c B+sin C. 2.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 A =60°,B=45°,a=3 2,则 b=( ) 3 A. 2 B. 3 C.2 3 D.4 3 答案:C 3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 A =105°,B=45°,b=2 2,则 c=( ) 2 A. 2 B.1 C. 2 D.2 答案:D 4.在△ABC 中,A:B:C=4:1:1,则 a:b:c=( ) A.4:1:1 B.2:1:1 C. 2:1:1 D. 3:1:1 解析:由 A:B:C=4:1:1 且 A+B+C=π,得 A=23π,B= π6,C=π6,所以 sin A= 23,sin B=12,sin C=12. 又由 a:b:c=sin A:sin B:sin C 得,a:b:c= 3:1:1. 答案:D 类型一 已知两角及一边解三角形 例 1 (1)在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等 于( ) A.4 6 B.4 5 C.4 3 22 D. 3 (2)在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于 ________. 【解析】 (1)A=180°-B-C=180°-60°-75°=45°, ∴由正弦定理可得 b=assiinnAB=8×223=4 6. 2 由三角形内角和定理可知,只要知道其中两角的值,就一定能 求出第三角的值. (2)由题意,因为 B=45°,C=60°, 所以 A=180°-B-C=75°, 最短边为 b,由正弦定理,得 b=cssiinnCB=1×sinsi6n04°5°= 6 3. 【答案】 (1)A 6 (2) 3 方法归纳 已知两角和任意一边解三角形的方法 (1)由三角形内角和定理可以计算出三角形的第三个角;(2)由正 弦定理可计算出三角形的另两边. 跟踪训练 1 (1)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, c,若 a= 3,sin B=12,C=π6,则 b=________. 解析:(1)因为 sin B=12且 B∈(0,π),所以 B=π6或 B=56π,又 C=π6,所以 B=π6,A=π-B-C=23π,又 a= 3,由正弦定理得sina A =sinb B,即 32π= bπ,解得 b=1. sin 3 sin6 答案:(1)1 (2)在△ABC 中,若 b=5,∠B=π4,tan A=2,则 sin A=________; a=________. 解析:(2)由 tan A=2,得 sin A=2cos A, 所以 sin2A=4cos2A=4-4sin2


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