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2016届高三数学规范解答训练第3章第6课时正弦定理、余弦定理及解三角形(新人教版)


2016 高三数学复习 第 3 章 第 6 课时 正弦定理、余弦定理及解三角 形课时训练 文 新人教版

A 级 基础演练

1.(2013·高考北京卷)在△ABC 中,a=3,b=5,sin A=13,则 sin B=(

)

1

5

5

A.5

B.9

C. 3

D.1

解析:选 B.利用正弦定理求解.

在△ABC

a 中,由正弦定理sin

b A=sin

B,

得 sin

B=bsian

A 5×13 5 = 3 =9.

2.若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC( )

A.一定是锐角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是钝角三角形

D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

解析:选 C.在△ABC 中,sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,∴a∶b∶c=5∶11∶13,

故令 a=5k,b=11k,c=13k(k>0),由余弦定理可得

cos C=a2+2ba2b-c2=25k22+×152×1k12-1k1269k2=-12130<0,

又∵C∈(0,π ),∴C∈???π2 ,π ???,∴△ABC 为钝角三角形. 3.(2013·高考山东卷)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 B=2A,a=1,b

= 3,则 c=( )

A.2 3

B.2

C. 2

D.1

解析:选

1 B.由已知及正弦定理得sin

3

3

A=sin B=sin 2A=2sin

3 Acos

A,所以

cos

A=

23,A

=30°.结合余弦定理得 12=(

3)2+c2-2c×



3 2 ,整理得

c2-3c+2=0,解得

c=1



c

=2.

当 c=1 时,△ABC 为等腰三角形,A=C=30°,B=2A=60°,不满足内角和定理,故 c=2.

4.(2015·辽宁五校联考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S 表示△ABC 的

面积,若 acos B+bcos A=csin C,S=14(b2+c2-a2),则角 B 等于(

)

A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

解析:选 C.由正弦定理得 sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin C,即 sin(B+A)=sin Csin C,

因为 sin(B+A)=sin C,所以 sin C=1,C=90°.由 S=12bcsin A,b2+c2-a2=2bccos A,

代入已知得12bcsin A=14·2bccos A,所以 tan A=1,A=45°,因此 B=45°. 5.(2014·高考江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c2=(a-b)2

+6,C=π3 ,则△ABC 的面积是( )

A.3

B.9 2 3

C.3 2 3

D.3 3

解析:选 C.利用所给条件以及余弦定理整体求解 ab 的值,再利用三角形面积公式求解.

∵c2=(a-b)2+6,∴c2=a2+b2-2ab+6.①

∵C=π3 ,∴c2=a2+b2-2abcosπ3 =a2+b2-ab.② 由①②得-ab+6=0,即 ab=6.

∴S△ABC=12absinC=12×6× 23=3 2 3.

6.(2014·高考福建卷)在△ABC 中,A=60°,AC=2,BC= 3,则 AB 等于__________. 解析:利用余弦定理直接求解. ∵A=60°,AC=2,BC= 3,设 AB=x,由余弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A,化 简得 x2-2x+1=0,∴x=1,即 AB=1. 答案:1 7.(2015·潍坊模拟)小明的爸爸开汽车以 80 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶,小明坐 在车里向外观察,在点 A 处望见电视塔 P 在北偏东 30°方向上,15 分钟后到点 B 处望见电视 塔在北偏东 75°方向上,则汽车在点 B 时与电视塔 P 的距离是________km. 解析:∠PAB=30°,∠PBC=75°, ∴∠APB=45°,AB=80×14=20,

AB

PB

∴sin 45°=sin 30°,

∴PB=10 2.

答案:10 2 8.已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边,若 cos B=45,a=10,△ABC 的面积 为 42,则 b+sian A的值等于__________.

解析:依题可得 sin B=35,又 S△ABC=12acsin B=42,则 c=14.故 b= a2+c2-2accos B=6 2, 所以 b+sian A=b+sibn B=16 2.

答案:16 2 9.(2014·高考浙江卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 4sin2A-2 B+

4sin Asin B=2+ 2. (1)求角 C 的大小; (2)已知 b=4,△ABC 的面积为 6,求边长 c 的值.

解析:(1)由已知得 2[1-cos(A-B)]+4sin Asin B=2+ 2,化简得-2cos Acos B+2sin Asin

B= 2,



cos(A+B)=-

2 2 ,所以

A+B=34π

,从而

C=π4

.

(2)因为 S△ABC=12absin C,由 S△ABC=6,b=4,C=π4 ,

得 a=3 2.由余弦定理 c2=a2+b2-2abcos C,得 c= 10. B 级 能力突破
1.(2014·高考江西卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 3a=2b,则 2sin2B-sin2A
sin2A 的值为( )

1

1

A.9

B.3

C.1

D.72

解析:选 D.先利用正弦定理转化边角关系,再求三角函数式的值.

a ∵sin

b A=sin

B,∴ssiinn

Bb A=a.

∵3a=2b,∴ba=32.∴ssiinn BA=32.

∴2sins2Bi-n2Asin2A=2???ssiinn BA???2-1=2×???32???2-1=92-1=72.

2.(2015·昆明调研)已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A=π3 ,b= 2acos B,c=1,则△ABC 的面积等于( )

3 A. 2

3 B. 4

3 C. 6

3 D. 8

解析:选 B.由正弦定理得 sin B=2sin Acos B,故 tan B=2sin A=2sinπ3 = 3.又 B∈(0,

π ),所以 B=π3 .又 A=B=π3 ,则△ABC 是正三角形,所以 S△ABC=12bcsin A=12×1×1× 23=

43. 3.(2015·大连市高三双基测试)在斜三角形 ABC 中,“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的( ) A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.在斜三角形 ABC 中,|tan A|>|tan B|?|sin A·cos B|>|cos Asin B|?(sin Acos B)2-(cos Asin B)2>0?(sin Acos B+cos Asin B)(sin Acos B-cos Asin B)>0?sin(A+ B)sin(A-B)>0?sin Csin(A-B)>0?sin(A-B)>0;又-π <A-B<π ,因此 sin(A-B)>0?0<A -B<π ,即 A>B.因此,在斜三角形 ABC 中,“A>B”是“|tan A|>|tan B|”的充分必要条件. 4.如图所示,A,B 两点在一条河的两岸,测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达,要测出 AB 的距离,其方法是在 A 所在的岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出∠ACB =α ,∠CAB=β ,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求出 AB.

若测出 AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则 A,B 两点间的距离为__________. 解析:∠ABC=180°-75°-45°=60°, 所以由正弦定理得,siAnB C=siAnC B,

∴AB=AC· sisninB

C 60×sin 45° = sin 60° =20

6(m).

即 A,B 两点间的距离为 20 6 m.

答案:20 6 m

5.(2015·贵阳监测)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0,则 A=__________________.

解析:由题意,得 sin Acos C+ 3sin Asin C=sin B+sin C,∴sin Acos C+ 3sin Asin C=sin(A+C)+sin C,

∴sin Acos C+ 3sin Asin C=sin Acos C+cos Asin C+sin C.

∵sin C≠0,∴ 3sin A-cos A=1,



3 2 sin

A-12cos

A=12,

∴sin???A-π6 ???=12,

∴A-π6 =π6 ,∴A=π3 .

答案:π3

6.(2014·高考重庆卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+b+c=8. (1)若 a=2,b=52,求 cos C 的值;

(2)若 sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C,且△ABC 的面积 S=92sin C,求 a 和 b 的值.

解析:(1)由题意可知 c=8-(a+b)=72.

由余弦定理得 cos C=a2+2ba2b-c2=22+???52???2-5???72???2
2×2×2

1 =-5.

(2)由 sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C,可得

sin A·1+c2os B+sin B·1+c2os A=2sin C,

化简得 sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C. 因为 sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C, 所以 sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知 a+b=3c. 又因为 a+b+c=8,故 a+b=6.

由于 S=12absin C=92sin C,所以 ab=9, 从而 a2-6a+9=0,解得 a=3,b=3.



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